§2 从位移的合成到向量的加法（数学北师版必修4）
建议用时 45分钟
一、选择题（每小题5分，共20分）
1.设AB=a，AD=b，BC=c，则DC等于（ ） 实际用时 满分 100分 实际得分
A.a-b+c B.b-（a+c） C.a+b+c D.b-（a-c）
2.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB=（ ） A.a-b B.b-a C.a+b D.-a-b
3.下列三个命题：①若a+b=0，b+c＝0，则a=c；②AB=CD的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a+b=0且b=0，则-a=0.其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
4.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且OA、
OB、OC、OD满足等式OA+OC=OB+OD，
则四边形是（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形 二、填空题（每小题5分，共10分）
5.化简：（AB-CD）-（AC-BD）＝ . 6. 若向量a,b满足|a|=8,|b|=12，则｜a+b｜的最小值为 ，|a-b|的最大值为 . 三、解答题(共70分)
7.（15分）已知OA=a，OB=b,且|a|=|b|=2,∠AOB=π3,求|a+b|,|a-b|.
8.（20分）已知a、b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，求
a?ba?b.
9. （15分）已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，问表示a、b、c的有向线段能否构成三角形？
10. （20分）已知非零向量a、b满足|a|=7+1，|b|=7-1，且|a-b|=4，求|a+b|的值.
§2 从位移的合成到向量的加法（数学北师版必修4）
答题纸
得分：
一、选择题
题号 答案 二、填空题
5． 6． 三、解答题 7. 8. 9. 10.
1 2 3 4
§2 从位移的合成到向量的加法（数学北师版必修4）
答案
一、选择题
1.A 解析：利用封闭图形的向量关系，得AB+BC+CD=AD， ∴ DC=-CD=-［AD-（AB+BC）］=AB+BC-AD=a+c-b. 2.D 解析：∵ BC+CA=a+b=BA，∴ AB=-a-b.
3.B 解析：①中，∵ a+b=0，∴ a、b的长度相等且方向相反.又b+c=0，∴ b、c的长度相等且方向相反,∴ a、c的长度相等且方向相同，故a=c，①正确.②中，当AB=CD时，应有|AB|=|CD|及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错.③显然正确. 4. A 解析：∵ OA-OB=BA,OD-OC=CD, 而OA+OC=OB+OD，
∴ OA-OB=OD-OC，∴ BA=CD，即AB∥CD且AB=CD， ∴ 四边形ABCD为平行四边形. 二、填空题
5.0 解析1：（AB-CD）-（AC-BD）＝（AB+BD）+(DC+CA) ＝AD+DA=0.
解析2：（AB-CD）-（AC-BD）=AB-CD-AC+BD =(AB-AC)+（DC-DB）=CB+BC=0. 解析3：设O为平面内任意一点，则有
（AB-CD）-（AC-BD）=AB-CD-AC+BD =(OB-OA)-(OD-OC)-( OC-OA)+(OD-OB) =OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0. 6. 4 20 解析：设a=AB,b=AC，
则当a与b共线且同向时，|a+b|=|a|+|b|，|a-b|=||a|-|b||. 当a与b共线且反向时，｜a+b｜=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.
当a与b 不共线时，||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|,||a|-|b||＜|a-b|＜|a|+|b|， 如图所示，因此当a与b共线且反向时，｜a+b|取最小值为12-8＝4； 当a与b共线且反向时，|a-b|取最大值为12+8=20. 三、解答题
7.解：以OA、OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA，
C D a+ b b a- b A B a 由向量的三角形法则和平行四边形法则，可知a+b=OC,a-b=BA. 又|a|=|b|,可知该平行四边形OBCA为菱形， ∴ |a+b|=|OC|=2|OM|=23,|a-b|=|BA|=2. 8.解：设OA=a，OB=b，则BA=OA-OB=a-b. ∵ |a|=|b|=|a-b|,∴ BA=OA=OB.
∴ △OAB为正三角形.设其边长为1，则 |a-b|=|BA|=1,|a+b|=2×a?b33=3.∴ ==3. 2a?b19.解：（1）当a、b不共线时，在平面上任取一点A，作AB=a，再以B为起点作BC=b，则AC=a+b. ∵ a+b+c=0，∴ c=-（a+b）=-AC=CA.
∴ 当a+b+c=0时，表示a、b、c的有向线段能构成三角形.
（2）当a、b共线时，即使a+b+c=0成立，也不能构成三角形.
综上所述，只有a、b、c均不共线时，它们的有向线段才能构成三角形.
10.解：设OA=a，OB=b，则|BA|=|a-b|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC|=|a+b|.
222222
∵ （7+1）+（7-1）=4，∴ |OA|+|OB|=|BA|.∴ OA⊥OB.∴ 平行四边形OACB是矩形.
∵ 矩形的对角线相等，∴ |OC|=|BA|=4，即|a+b|=4.
高中数学基础知识篇从位移的合成到向量的加法同步练测北师大版必修
