2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x?arctanx?c，其中c,k为常数，且c?0，则（ ）
x?0xk1（A）k?2,c??
21（B）k?2,c?
21（C）k?3,c??
31（D）k?3,c?
3（1）已知极限lim（2）曲面x?cos(xy)?yz?x?0在点(0,1,?1)处的切平面方程为（ ） （A）x?y?z??2 （B）x?y?z?2 （C）x?2y?z??3 （D）x?y?z?0
?119（3）设f(x)?x?，bn?2?f(x)sinn?xdx(n?1,2,...)，令S(x)??bnsinn?x，则S(?)?（ ）
024n?123 41（B）
41（C）?
43（D）?
4（A）
22222222（4）设l1:x?y?1,l2:x?y?2,l3:x?2y?2,l4:2x?y?2,为四条逆时针的平面曲线，记
y3x3Ii??(y?)dx?(2x?)dy(i?1,2,3,4)，则MAX(Ii)?( ) ?63li（A）I1 （B）I2 （C）I3 （D）I3
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?（6）矩阵??aba???与??0b0?
?相似的充分必要条件为
?1a1????
000?
?（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0
（D）a?2,b为任意常数
（7）设XX221，2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),
Pj?P{?2?Xj?2}(j?1,2,3),则（ ）
（A）P1?P2?P3 （B）P2?P1?P3 （C）P3?P1?P2 （D）P1?P3?P2
（8）设随机变量X~t(n),Y~F(1,n),给定a(0?a?0.5),常数c满足P{X?c}?a,则P{Y?c2}?（（A）? （B）1?? （C）2? （D）1?2?
） 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9)设函数f(x)由方程y?x?ex(1?y)确定，则limn(f()?1)? ．
n??1n3x2xx2x2x(10)已知y1?e?xe，y2?e?xe，y3??xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该
方程的通解为y? ．
?x?sintd2y(11)设?（t为参数），则2dx?y?tsint?cost(12)
t??4? ．
???1lnxdx? ．
(1?x)2（13）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____
（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零，则P{Y?a?1|Y?a}?________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤. （15）（本题满分10分） 计算
?10xln(t?1)f(x)dx,其中f(x)??dt
1tx（16）（本题满分10分）
设数列{an}满足条件：a0?3,a1?1,an?2?n(n?1)an?0(n?2),S(x)是幂级数（I） （II）
证明：S??(x)?S(x)?0, 求S(x)的表达式.
?axnn?0?n的和函数，
（17）（本题满分10分）
x3x?y求函数f(x,y)?(y?)e的极值.
3（18）（本题满分10分）
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有2阶导数，且f(1)?1,证明： （I） （II）
存在??(0,1),使得f'(?)?1
存在????1,1?，使得f''(?)?f'(?)?1
（19）（本题满分10分）
设直线L过A(1,0,0),B(0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面?,?与平面z?0,z?2所围成的立体为?， （I）
求曲面?的方程
（II） 求?的形心坐标.
（20）（本题满分11分） 设A???1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，并求所有矩阵C。
?10??1b?（21）（本题满分11分）
?a1??b1?22????设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，记???a2?,???b2?。
?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?????；
22（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1?y2。
TT（22）（本题满分11分）
?12?x设随机变量的概率密度为f(x)??4??0（I）求Y的分布函数 （II）求概率P{X?Y} （23）（本题满分11分）
?2x?10?x?3?，令随机变量Y??x1?x?2,
?1x?2其他???2???3ex,x?0,LXN为来自总体设总体X的概率密度为f?x???x其中?为未知参数且大于零，X1,X2，?0,其它.?X的简单随机样本.
（1）求?的矩估计量；
（2）求?的最大似然估计量.
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x?arctanx?c，其中c,k为常数，且c?0，则（ ）
x?0xk1（A）k?2,c??
21（B）k?2,c?
21（C）k?3,c??
31（D）k?3,c?
3（1）已知极限lim【答案】D
113x?(x?x3?o(x3))xx?arctanx33?c,?k?3,c?1 【解析】lim?lim?limx?0x?0x?0xkxkxk3（2）曲面x?cos(xy)?yz?x?0在点(0,1,?1)处的切平面方程为（ ） （A）x?y?z??2 （B）x?y?z?2 （C）x?2y?z??3 （D）x?y?z?0 【答案】A
【解析】设F(x,y,z)?x?cos(xy)?yz?x， 则Fx(x,y,z)?2x?ysin(xy)?1?Fx(0,1,?1)?1；
22Fy(x,y,z)??xsin(xy)?z?Fy(0,1,?1)??1；
Fz(x,y,z)?y?Fz(0,1,?1)?1，
所以该曲面在点(0,1,?1)处的切平面方程为x?(y?1)?(z?1)?0， 化简得x?y?z??2，选A
2013年考研数学一真题及答案解析
