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析解圆锥曲线交汇题
山西省盂县旧党校 马志君 04510
圆锥曲线这部分内容主要是椭圆，双曲线，抛物线。是高考必考内容。高考题中常将他们交汇在一起。下面析解他们的交汇题。
一．双曲线与抛物线的交汇 例1 如图1，设抛物线y2=2p（x+
p）（p＞0）的准线和焦点分别是双曲线的右准线和右2焦点，直线y=kx与抛物线及双曲线在第一象限分别交于A、B，且A为OB中点，（O为坐标原点）
图1
（1） 当k=3时，求双曲线渐进线的斜率；
（2） 在（1）的条件下，若双曲线的一条渐近线在y轴上的截距为
曲线的方程。
分析：（1）双曲线渐近线的斜率为±
47，求抛物线和双3bbb，由与双曲线离心率关系可求出。 aaa47，可求出双曲线的中心坐标，进而可求出3（2）由双曲线的渐近线在y轴上的截距为
双曲线方程，由抛物线与双曲线的关系可求出，进而可求出抛物线方程。
?y?3x?解：（1）依题意A点坐标应是?p→A（p，3p） 2?y?2p(x?)2?∵点A是OB的中点，∵B点的坐标为（2p，23p） ∴|OB|=4p且点B到准线x=-p的距离为d=3p
由离心率及双曲线的定义有： e=
c|OB|4p4===，
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而
427b=e2?1=()?1=
33a∴所求双曲线的渐近线的斜率为±
7 3（2）设所求双曲线的中心坐标为（x0，0），则x0＜-p ∴双曲线的一条渐近线方程为：y=
7（x-x0） 3由该直线在y轴上的截距为
47，得：x0=-4 3∴双曲线的中心坐标为（-4，0），同时得到双曲线的半焦距c=4
?b7??a32????a?9由?c?4→?
2?c2?a2?b2??b?7???(x?4)2y2∴所求双曲线的方程为-=1
97a297又∵p=c-=4-= c44∴所求抛物线的方程为y2=二、椭圆与双曲线的交汇
77（x+） 28x2y2例2 双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线
84（1） 求双曲线C的方程；
（2） 过点P（0，4）的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶
→ → 8→
点不重合），当PQ=λ，QA=λ2QB，且λ1+λ2=-时，求Q点的坐标。
3分析：由a、b、c的关系，及向量的坐标运算解本题。 解：依题意作图如图2
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（1）设双曲线方程为
xy -=1 a2b222图2
x2y2由椭圆+=1求得两焦点为（-2，0），（2，0）
84∴对于双曲线C：c=2，又y=3x为双曲线C的一条渐近线 ∴
b=3 a解得a2=1，b2=3
2y∴双曲线C的方程为：x2-=1 8（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（-，0）
k→ →
∵PQ=λ1OA ∴（-
444，-4）=λ1（x1+，y1） kk444???4x???????1(x1?)??1k?1kk???k∴?→ ???4??y411???y1????1?161??2216∵A（x1，y1）在双曲线C上，∴2（）-2-1=0 2
3?2?k16222k-k?1=0 31622∴（16-k2）?1+32λ1+16-k=0 31622同理有：（16-k2）?2+32λ2+16-k=0 3∴16+32λ1+16?1-2若16-k2=0，则直线l过顶点，不合题意，∴16-k2≠0
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人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习析解圆锥曲线交汇题
