(AT)T?A r(AT)?r(A) T转置矩阵AT|A|?|A| T (kA)T?kAT (AB)?BA TTr(AT)?r(ATA) (A?B)T?BT?AT r(ATA)?r(A) 逆矩阵A?1 |A?1|?1 |A|有特征值1 ? ?1AT、A?、A三者之间有一伴随矩阵A ?|A?|?|A|n?1 有特征值|A| ?个即好记又好用的性质 (AT)?1?(A?1)T (A?)?1?(A?1)? ?n.r(A)?n?r(A?)??1.r(A)?n?1 ?0.r(A)?n?1?(AT)??(A?)T r(A?B)?r(A)?r(B) 数乘矩阵|kA|?knA 矩阵kA、之积AB|AB|?|A||B|及矩阵之和A?B r(AB)?min{r(A),r(B)} kA有特征值k?，aA?bE有特征值a??b AB?0则有：r(A)?r(B)?n 若A可逆则有r(AB)?r(B)；同样，若B可逆则有r(AB)?r(A) 2.3 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的容则相对独立， 可以看作是对第三、四章核心容的扩展。
向量与线性方程组两章的容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1解线性方程组可以看作是这两章容的出发点和目标。线性方程组??a21x1?a22x2????a2nxn?b2的系数矩
?ax?ax????ax?bm22mnnn?m11?a11a12???a1n??x1??b1???阵是m行n列的，其有两种形式，一种是矩阵形式Ax?b；其中A是系数矩阵a21a22a2n,?x2?,?b?；??x???b??2???????????????????????am1am2???amn??xn??bn??a1i??a?另一种是向量形式x1a1?x2a2?????xnan?b，其中i?1,2???n。向量就这样被引入了。 ai??2i?????????ani?先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组x1a1?x2a2?????xnan?0可以
..
直接看出是一定有解的，因为当x1?x2?????xn?0式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向量可由任何向量线性表示”，即当??k1a1?k2a2?????knan中的??0时一定存在一组数
k1,k2???kn使等式成立，至少在ki全为0时可以满足。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式x1a1?x2a2?????xnan?0中的xi只能全为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组a1,a2???an是否线性相关\\无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设
a1,a2???an为一组向量，如果存在一组不为零的数k1,k2???kn使得等式k1a1?k2a2?????knan?0成
立，则称向量组a1,a2???an线性相关；如果等式当且仅当k1?k2?????kn?0时成立，则称向量组
a1,a2???an线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组Ax?0是否有非零解
对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。
假如线性相关\\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组a1,a2???an组成的矩阵A有r(A)?n说明向量组的极大线性无关组中有n个向量，即a1,a2???an线性无关，也即等式
k1a1?k2a2?????knan?0只有0解。所以，经过“秩→线性相关\\无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，由r(A)?n就可以判定齐次方程组x1a1?x2a2?????xnan?0只有0解。当r(A)?n时，按照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组Ax?0的系数矩阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m 对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组Ax?b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示。线性表示的定义为：对于向量组a1,a2???an若存在一组数k1,k2???kn使等式k1a1?k2a2?????knan?b成立，则称向量b可由向量组a1,a2???an线性表 示。而使上述等式成立的ki就是非齐次方程组Ax?b的解，故齐次方程组有性质“齐次线性方程组Ax?0是否由非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性向关”，非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组 Ax?b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组Ax?b与对应齐次线 性方程组Ax?0满足r(A)?r(A)?n时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次方程 .. 组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若a1,a2???an线性无关，而a1,a2???an,b线性相关，则向量b可由向量组a1,a2???an线性表示，且表示方法唯一”。 以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。 线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。 矩阵→线性方程组→向量 解→线性相关/无关→秩 三个双重定义： 1. 秩的定义 a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数 b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数 2.线性相关\\无关的定义： a. 对于一组向量a1,a2???an，若存在不全为零的数k1,k2???kn使得k1a1?k2a2?????knan?0成 立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当ki全为0时才成立。 b. 向量组a1,a2???an线性相关?向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向量线性表出； 线性无关?向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。 2. 线性方程组的两种形式： a. 矩阵形式：Ax?b b. 向量形式：x1a1?x2a2?????xnan?b 两条性质： 1.对于方阵An?n有：方阵A可逆?存在方阵B使得AB?BA?E?|A|?0?A的行\\列向量组均线性无关?r(A)?n?Ax?b可由克拉默法则判断有唯一解，而Ax?0仅有零解。 对一般矩阵Am?n则有：r(A)?n?A的列向量组线性无关?Ax?0仅有零解，Ax?b有唯一解。 2.齐次线性方程组Ax?0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组Ax?b是否有解对应于b是否可以由A的列向量组线性表出。 以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁： 行列式 线性相关 线性方程组 性质1中的“|A|≠0?A性质2 的列向量组线性无关” 秩 性质1中的“r(A)=n?A的列向量组线性无关” 另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获： 1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组a1,a2???am可由向量组?1,?2????n线性表示，则有r(a1,a2???am)?r(?1,?2????n)。 .. 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。 2. ?1??0??0?常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；?0?、?1?、?0?这样的单位向量组；不同特征 ????????1???0????0???值对应的特征向量。 3. 关于秩的一些结论： r(Am?n)?min{m,n}； r(A?)?1?r(A)?n?1； r(AT)?r(A)?r(ATA)； r(AB)?min{r(A),r(B)}； r(A?B)?r(A)?r(B)； 若有Am?n、Bn?s满足AB?0，则r(A)?r(B)?n； 若A是可逆矩阵则有r(AB)?r(B)；同样若B可逆则有r(AB)?r(A)。 非齐次线性方程组Ax?b有唯一解则对应齐次方程组Ax?0仅有零解，若Ax?b有无穷多解则Ax?0有非零解；若Ax?b有两个不同的解则Ax?0有非零解； 若A是m?n矩阵而r(A)?m则Ax?b一定有解，而且当m?n时是唯一解，当m而若r(A)?n则Ax?b没有解或有唯一解。 2.4 线代第五章《特征值和特征向量》 相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有相关题目，而且最有可能是综合性的大题。 特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量容——即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。本章知识要点如下： 1.特征值和特征向量的定义及计算方法。 记牢一系列公式如Ax??x(x?0)、?x?Ax?0、(?E?A)x?0和|?E?A|?0。 历年真题中常用到下列性质：若n阶矩阵A有n个特征值?1?2????n ，则有|A|??1?2????n；若矩阵A有特征值?，则kA、A、aA?bE、f(A)、A?1、A?分别有特征值k?、?、a??b、f(?)、 22?n时是无穷多解， 1、|A|，且对应特征向量等于?所对应的特征向量，而若?、?分别为矩阵A、B的特征值，则???不1122??一定为A?B的特征值。 .. 2.相似矩阵及其性质。定义式为B?P?1AP，需要区分矩阵的相似、等价与合同： 矩阵A与矩阵B等价（A?B）的定义式是PAQ?B，其中P、Q为可逆矩阵，此时矩阵A可通过初等变换化为矩阵B，并有r(A)?r(B)； 当PAQ?B中的P、Q互逆时就变成了矩阵相似（A?B）的定义式，即有B?P?1AP，此时满足 r(A)?r(B)、|A|?|B|、|?E?A|?|?E?B|，并且A、B有相同的特征值。 矩阵合同的定义是PTAP?B，其中P为可逆矩阵。 由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若A与B合同或相似则A与B必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。 3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件。 充要条件:n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量?A的任意k重特征根对应有k个线性无关的特征向量； 充分条件:1是A有n个互不相同的特征值；充分条件2是A为实对称矩阵。 4.实对称矩阵极其相似对角化。 n阶实对称矩阵A必可正交、相似于对角阵?，即有正交阵P使得PAP?PAP??而且正交阵P ?1T由A对应的几个正交的特征向量组成。 其实本章的容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的幂Ak作为思路的起点，直接乘来求A比较困难，但如果有矩阵P使得A满足PAP??（对角阵）的话就简单多了，因为此时A?a??的幂????b??c???kk?1?P?P?1?P?P?1???P?P?1?P?kP?1，而对角阵?k?ak就等于????bk?k?代如上式即得A。而矩阵相似对角化的定义式正是?k?c?P?1AP??。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂，引入特征值和特征向量的概念 是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 P?1AP??中的P、?也分别是由A的特征向量和特征值决定的。 2.5 求A→相似对角化→特征值和特征向量 n 线代第六章《二次型》 本章容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法。 在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵P使得 ，其过程就是上一章相似对角化在A为实对称矩阵时的应用。 A可以相似对角化” 将本章与上一章中相似对角化部分的容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。 ..
考研数学知识点总结 - 图文
