求平面图形面积 s??求旋转体体积（可用微元法也可用公式） baf(x)dx b绕x轴旋转体的体积Vx???af2(x)dx， b绕y轴旋转体得体积Vy?2??a绕x轴旋转体的体积Vx??绕已知平行截面面积求立体体积 xf(x)dx 2?ba[f22(x)?f1(x)]dx， by轴旋转体得体积Vy?2??x[fa2(x)?f1(x)]dx V??s(x)dx ab求平面曲线的弧长 l??ba1?(y?)2dx 1.6
高数第八章《无穷级数》
本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。
对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：
1. 已知级数?a2n收敛，判断级数
|an|n??2?|an|n2??的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式
21，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的—?12(an?n2??)—若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一
条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。
2． 上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列an满足
liman?a,a?0，判断级数
x?01n1()的敛散性。关键步骤是：由an?1??an?11a?1?1得到
n，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出(an1?1)n?(a1?1)“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。
幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节
..
中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。
另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下： 1. 11?u?1?u?u?????u??????un （-1，1） 2nn?0?2.11?u?1?u?u?u?????(?1)u??????(?1)nun （-1，1） 23nnn?0122133nun?1n?1?3.ln(1?u)?u?u?u?????(?1)??????(?1)nun?1(??,??) n?1?n?04.e?1?u?u12!u?????u??????un!(??,??) 21n!nn?n?015.sinu?u?3!u?????(?1)2n1(2n?1)!u2n?1??????(?1)nn?0?u2n?1(2n?1)!(??,??) 116.cosu?1?2!u?4!u?????(?1)24n1(2n)!u2n??????(?1)nn?0?u2n(2n)!(??,??) 这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。 1式是第一部分式子的基础。1?u?u求和公式s?11?u2?????un????不就是一个无穷等比数列吗，在|u|?1时的
1正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2：1式左端是1?u，
1?2式左端是1?u；1式右端是?un，2式右端也仅仅是变成了交错级数
n?0?(?1)n?0?nun,故可以通过这种比较来记
忆式子2；对于3式来说，公式左端的ln(1?u)与2式左端的1?u存在着关系“[ln(1?u)]??1n由1?u的展开式可以推导出ln(1?u)的展开式为?(?1)n?0?un?1n?1111?u”，故
。这三个式子中的u?(?1,1)，相互之间存在着
上述的清晰联系。
后3个式子的u?(??,??)，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式4：e?u?n?0?unn!与之相比，sinu的展开式是
?(?1)nn?0?u2n?1(2n?1)!，cosu的展开式是
..
?(?1)nn?0?u2n(2n)!。一个可看成是将e展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将e展开式中
uu的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：sinu、cosu习惯上说“正余弦”，先正后余；而sinu的展开式对应的是奇数项，cosu的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。 在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前3式)的展开式都不带阶乘，其中只有1?u的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的展开式都带阶乘，其中只有e的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和(?1)；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。
对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。 对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换?an?lim?anxn求得幂级数n?0x?1n?0??1un?an?0?n其中的关键步骤是选择适当的xn，一般情况下如果n、(2n?1)xn的和函数s(x)以后代入极限式即可。
这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的x应为x11n(???)?1的形式，如x(n)?1、x(2n?1)(2n?1)?1，
以方便先积分；若题目有(2n?1)、(3n?1)这样的项，则xn应为x(???)的形式，如x、x(3n?1)，便于先
求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。 1.7 高数第十章《多元函数微分学》
复习本章容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。 二元函数的极限要求点二元函数 相似 一元函数 ?(x,y)以任何方向、任何路径趋向P(x0,y0)时均有x?x0极限 f(x,y)?A（x?x0、y?y0）。如果沿不同路径的y?yx?x0limf(x,y)0一元函数的极限与路径无关， 不同 由等价式limf(x)?Ax?x0即可判断。 ?f?(x0)?f?(x0)?Alimf(x,y)不相等，则可断定y?y0不存在。 二元函数z连续性 x?x0?f(x,y)在点P(x0,y0)处连续性判断条件为：存在且等于一元函数相似 件为y?f(x)在点x0处连续性判断条limf(x,y)f(x0,y0) x?x0limf(x)且等于f(x0) y?y0..
（偏）导数 二元函数z?f(x,y)的偏导数定义：f(x0??x,y0)?f(x0,y0) ?zlim?lim?x?0?x?x?0?x一元函数相似 y?f(x)的导数定义：?x?0limf(x0??x)?f(x0) ?y?lim?x?x?0?x分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义 分段函数在分界点处求导数需要用导数定义 简化定义为：对于函数z?f(x,y)，若其在点P(x0,y0)处的增量?z简化定义为：若函数量?y可表示为?yy?f(x)在点x处的增?A?x?d，其中d是可表示为全微分 ?z?A?x?B?y?o(?)，其中o(?)为?的高阶无f(x,y)在P(x0,y0)处可微，全微分为A?x?B?y，?z?x相似 穷小，则函数?x的高阶无穷小，则函数在该点可微，即dy?A?x，一般有dy?f?(x)dx 连续 可导 一般有dz?可微、可导、连续 可微 dx??z?ydy 不同 连续 可导 可微 一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元设全导数 则z?f(u,v,w)，u?g(t)，v?h(t)，w?k(t)且都可导，函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度不同 理解。一元复合函数是指y?f(u)、u?g(x)时zdz?fdu?fdv?fdw 对t的全导数???dt?udt?vdt?wdt有dydydu。与左边的多元函数全导数公式比较?dxdudx就可以将二式统一起来。 复合函数微分法 求由方程F(x,可用公式：y,z)?0确定的隐含数Z?Z(x,y)的偏导数，链式求导 相似 一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函数求导公式相似，只需分清式子中dz与?z的不dx同即可 ?x不仅 “形一元复合函数、参数方程微分法 对一元隐函数求导常采用两种方法： 1.公式dy隐函数微分法 F?(x,y,z) F?(x,y,z)，?z?z??y??x?xFz?(x,y,z)?yFz?(x,y,z)对于由方程组?F(x,y,z)?0确定的隐含数y?y(x)、z??G(x,y,z)?0方程组?Fx??Fy?似”，?z(x)可套用且在相当大程度上相通 dx??Fx?(x,y) Fy?(x,y)2.将y视为x的函数，在方程两边同时对x求导 一元参数方程微分法：若有?x?x(t)则dyy?(t) ??dxx?(t)y?y(t)?dydz?Fz??0 dxdx?dydz?Gx??G???Gz?0ydxdx??极值定义：函数z?f(x,y)在点P(x0,y0)的邻域有定义，且对于其中异f(x,y)?f(x0,y0)或相似 极值定义：函数y?f(x)在点x0的邻域有定义且对于其中异于该点的任一点恒有f(x)?f(x)0或f(x)?f(x0)，则称极小/大值，方程点。 于P点的任一点Q(x,y)，恒有极值 f(x,y)?f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为f(x,y)的极小/大值，方程组?fx?(x,y)?0的解称为函数的驻点。 f(x0)为y?f(x)的???fy(x,y)?0f?(x)?0的解称为函数的驻取极值的充分条件 函数z?f(x,y)在点P(x0,y0)的邻域有连续二阶偏导，且满足相似 函数y?f(x)在点x0的邻域可导，且满足..
??(x0,y0)]fx?(x0,y0)?0、fy?(x0,y0)?0、[fxy若2?fx??(x0,y0)fy??(x0,y0)?0，f?(x)?0、f??(x)?0，则： 若fx??(x0,y0)?0或fy??(x0,y0)?0则P(x0,y0)为极小值点； fx??(x0,y0)?0或fy??(x0,y0)?0则P(x0,y0)为极大值点。 f??(x)?0，则f(x0)为极小值； f??(x)?0，则f(x0)为极小值 若若大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的容。 1.8 高数第十章《重积分》 大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）
在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧
2 线性代数部分
2.1 线代这门课的特点
线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。
出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。
再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的容，题眼就在于性质“方阵A可逆?|A|=0?A的列向量组线性无关?r(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。 2.2 线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心容是求行列式具体行列式的计算低阶n阶
应用行列式按行\\列展开定理化为上下三角行列式求解
行列式的定义、|A|??1?2????n、行列式的性质
抽象行列式的计算考点不在求行列式，而在于AT、A?、A?1等的相关性质
第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、AT、A?、A?1的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。
所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果： 行列式性质 特征值性质（?为矩阵A的特征值） 运算性质 秩的性质 ..
考研数学知识点总结 - 图文
