几何证明选讲
§14.1
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1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等． (2)平行线分线段成比例定理
两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理
①两角对应相等的两个三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似． (2)相似三角形的性质定理
①相似三角形的对应线段的比等于相似比． ②相似三角形周长的比等于相似比． ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3．直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积． 4．圆中有关的定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． (3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． ②切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径． (4)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等． (5)弦切角定理
弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半． (6)相交弦定理
圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等． (7)割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
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(8)切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项．
(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理
(ⅰ)如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；
(ⅱ)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角互补；
(ⅱ)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
1．(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则答案 9
△CDF的面积
＝________.
△AEF的面积
AE1AECD解析 在平行四边形ABCD中，因为EB＝2AE，所以＝＝，故＝3.因为AE∥CD，所以
AB3CDAE△AEF∽△CDF，所以
2.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，
2点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________. 答案
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3．(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA
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S△CDFCD2
＝()＝9. S△AEFAEaa的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
答案 4
解析 由切割线定理得QA＝QC·QD＝4，解得QA＝2. 由切线长定理得PB＝PA＝2QA＝4.
4．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，
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PO＝3，则⊙O的半径等于________．
答案
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解析 设⊙O的半径为r(r>0)， ∵PA＝1，AB＝2， ∴PB＝PA＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r. 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r. 由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r＝3，∴r＝6.
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题型一 相似三角形的判定及性质1
例
如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的
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2016高考数学大一轮复习-14.1几何证明选讲教师用书-理-苏教版
