注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论．．．．．．．．并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2．
因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它．．．．．．．．们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等). 例题
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)
31
解同上.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再
通过计算加以验证.(图略) 课堂练习
P94 练习 1. 2. 课后小结
(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. 布置作业
P94 习题3.1 5. 8. 板书设计
3.2.1 直线的点斜式方程
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 三、教学设想
问 题 1、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 设计意图 使学生在已有知识和经验的基 32
师生活动 学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的方程，就是直线上任意础上，探索新知。 一点的坐标(x,y)满足的关系式。 2、直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k。设点P(x,y)是直线l上的任意一点，请建立培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标学生根据斜率公式，可以得到，当x?x0时，k?y?y0x?x0，即 x,y与(x,y)y?y0?k(x?x0) （1） 教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。 k,x0,y0之间的关系。 yPP0满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。 Ox 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 设计意图 使学生了解方程为直线方程必须满两个条件。 学生验证，教师引导。 3、（1）过点P0(x0,y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ 问 题 （2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0(x0,y0)，斜率为k的直线师生活动 学生验证，教师引导。然后教师指出方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）. 学生分组互相讨论，然后说明理由。 教师学生引导通过画图分析，求得问题的解决。 y l上吗？ 4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 5、（1）x轴所在直线的方程是什使学生理解直线的点斜式方程的适用范围。 进一步使学生理解直线的点斜么？y轴所在直线的方程是什么？ 式方程的适用范围，掌握特殊直线（2）经过点P0(x0,y0)且平行于方程的表示形式。 x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？ （3）经过点P0(x0,y0)且平行于y OP0P 0 xO x 33
y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？ 6、例1的教学。 学会运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率。同时掌握已知直线方程画直线的方法。 引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。 深入理解和掌握斜截式方程的特点？ 设计意图 教师引导学生分析要用点斜式求直线方程应已知那些条件？题目那些条件已经直接给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，要画一条直线可以怎样去画。 7、已知直线l的斜率为k，且与 学生独立求出直线l的方程： y轴的交点为(0,b)，求直线l的方程。 y?kx?b （2） 再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。 学生讨论，教师及时给予评价。 8、观察方程y?kx?b，它的形式具有什么特点？ 问 题 9、直线师生活动 y?kx?b在x轴上的截距是什么？ 使学生理解学生思考回答，教师评价。 “截距”与“距离”两个概念的区别。 体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。 10、你如何从直线方程的角度认识一次函数y?kx?b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y?2x?1,y?3x,y??x?3图象的特点吗？ 11、例2的教学。 掌握从直线方 教师引导学生分析：用斜率判断（1）程的角度判断两两条直线平行、垂直结论。思考条直线相互平行，l//l2时， k1,k2;b1,b2有何关或相互垂直；进一1步理解斜截式方程中k,b的几何系？（2）l1?l2时，k1,k2;b1,b2有何关系？在此由学生得出结论： 意义。 l1//l2?k1?k2,且b1?b2； 34
l1?l2?k1k2??1 12、课堂练习第100页练习第1，巩固本节课所学2，3，4题。 过的知识。 13、小结 使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。 巩固深化 学生独立完成，教师检查反馈。 教师引导学生概括：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道多少个条件？ 学生课后独立完成。 14、布置作业：第106页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题
3.2.2 直线的两点式方程
一、教学目标 1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。 3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点：
1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。 三、教学设想 问 题 1、利用点斜式解答如下问题： （1）已知直线设计意图 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 师生活动 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程： （1）yl经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. （2）已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中3?2?(x?1) 2(x1?x2,y1?y2)，求通过这两点的直线方程。 （2）y?y1?y2?y1(x?x1) x2?x1?y2时，方程可以写成 教师指出：当y1 35
(2020年整理)人教版高中数学必修二_全册教案.doc
