第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
??x???x?1.数乘平面向量：设????，?是任意一个实数，则?????
?y???y?????x1???x2??x1?x2?????2.平面向量的加法：设?y?，?y?，则??????
y?y?1??2??12??性质1：设A是一个二阶矩阵，?,?是平面上的任意两个向量，?是任意一个实数，则①数乘结合律：A(??)??A?；②分配律：A(???)?A??A? 【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究y?kx?b分别在以下变换下的像所形成的图形。
?????????10?①伸缩变换：??
02????②旋转变换：????③切变变换：?3?1?2?2? 13?22???12? ??01?④特别地：直线x=a关于x轴的投影变换？
性质2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 . （证明见课本P19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
① 恒等变换：?
②旋转变换：?
③切变变换：?
④反射变换：?
?10? ??01??cos??sin???
sin?cos????1k? ??01??10? ??0?1??10?⑤投影变换：??
00??
【练习：P27】 【应用】
??1试研究函数y?在旋转变换?x???22???22?作用下得到的新曲线的方程。 22??22?
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
????x??1.研究任意向量????先在旋转变换R30o：??y????x'?作用的向量?'?
?y?
2.二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵A＝?3?1??12?2?2?作用，再经过切变变换?：??13??01?22???a1b1??a2b2?，B＝??cd?，则A与B的乘积
cd?11??22??a1b1??a2b2?AB＝???cd?＝
cd?11??22?
【应用】 1.计算?
1??2-1??10? ＝
1????21???cos?-sin???cos?-sin??2.A＝? ?，B＝?sin? cos??，求AB
sin?cos?????
??1??10??12?3.求????在经过切变变换?：A=?，及切变变换?：B=?两次变换后的像?。 ???3???21??01??
?1?0??0?1?4.设压缩变换?：A＝?2，旋转变换R90o：B＝?，将两个变换进行复合??R90o，??1??10??0???2??x?①求向量????在复合变换下的像；②求????在复合变换下的像；③在复合变换下单
?3??y??位正方形变成什么图形？
???0.50?x2y2??1①伸缩变换：?5.试研究椭圆?②旋转变换： ?3401?????3?1?2?2?；③切变变换：13?22???12??10??10?；④反射变换：；⑤投影变换：?01??0?1??00?五种变换作用下的新曲线方程。
??????进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：P35】
【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ） A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
?10?2. 在切变变换?：??作用下，直线y=2x-1变为
?21??3. 在A＝??0.5?1?作用下，直线l变为y=-2x-3,则直线l为 ??21??10?x2y24.在??对应的线性边变换作用下，椭圆2?4?1变为
?10??5.已知平面内矩形区域为x1i?x2j（0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为
??x2y2??1绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为 6.将椭圆347.在??10?22对应的线性边变换作用下，圆(x+1)+(y+1)=1变为 ??10?8.计算：
?13???11?①????＝
2404????②??21???10????＝ ?11??1?1?
高中数学第2课时线性变换的基本性质与矩阵的乘法教案
