27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c． （1）求证：
????????∠??
=
????????∠??
=
????????∠??
=2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．
28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，
23
√3）三2
点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
2024年四川省凉山州中考数学试卷答案
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一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．（4分）﹣12024＝（ ） A．1
解：﹣12024＝﹣1． 故选：B．
2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
B．﹣1
C．2024
D．﹣2024
A． B． C． D．
解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意； B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意； D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意． 故选：B．
3．（4分）点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（ ） A．（2，﹣3）
B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（3，2）
解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）． 故选：A．
4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A．﹣1
B．3
C．﹣1和3
D．1和3
解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1， ∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1， 解得x＝﹣1，
则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3， ∴这组数据的众数为﹣1和3， 故选：C．
5．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（ ） A．x＝0
B．x＝2
C．x＝0或x＝2
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D．x＝0或x＝﹣2
解：∵x2＝2x， ∴x2﹣2x＝0， 则x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 故选：C．
6．（4分）下列等式成立的是（ ） A．√81=±9 C．（?2）1＝﹣2
﹣
B．|√5?2|=?√5+2 D．（tan45°﹣1）0＝1
1
解：A．√81=9，此选项计算错误； B．|√5?2|=√5?2，此选项错误； C．（?）1＝﹣2，此选项正确；
﹣
1
2D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误； 故选：C．
7．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ） A．m＞?2 1
B．m＜3
C．?2＜m＜3
1
D．?2＜m≤3
1
解：根据题意得{2??+1＞0，
???3≤0解得?2＜m≤3． 故选：D．
8．（4分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（ ） A．10cm
B．8cm
C．10cm 或8cm
D．2cm 或4cm
1
解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC=AB=
1
21
×12＝6（cm）， 2点D是线段AC的三等分点， ①当AD=3AC时，如图，
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1
BD＝BC+CD＝BC+23AC＝6+4＝10（cm）； ②当AD=2
3AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+1
3AC＝6+2＝8（cm）． 所以线段BD的长为10cm或8cm， 故选：C．
9．（4分）下列命题是真命题的是（ ） A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆 C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题； C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题； 故选：D．
10．（4分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（
A．1
√22
B．
2
C．2 D．2√2
解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC， AD=√22+22=2√2，BD=√12+12=√2， ∴tanA=
????????=√212√2=2， 故选：A．
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）
11．（4分）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（ ）
A．2√2：√3
B．√2：√3 C．√3：√2
D．√3：2√2
解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示： 则AH＝BH=2AB，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O， ∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°， ∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=2×120°＝60°， ∴AD=√2OA，AH＝OA?sin60°=2OA， ∴AB＝2AH＝2×2OA=√3OA， ∴
????????
√3√31
1
=
√2????√2=， √3????√3故选：B．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论： ①abc＞0；
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