1.2.4 平面与平面的位置关系
A级 基础巩固
1．平面α内有两条直线a，b都平行于平面β，则α与β的位置关系是( ) A．平行 C．重合
B．相交 D．不能确定
解析：两条直线不一定相交，所以两个平面的位置关系不能确定． 答案：D
2．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数多条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：因为平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，设直线a与点B确定的平面为γ，则α∩γ＝a，设β∩γ＝b，且B∈b，则a∥b，所以过点B与a平行的直线只有直线b.
答案：D
3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A．0个 C．无数个
B．1个 D．1个或无数个
解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个． 答案：D
4．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β. 又m?α，所以α⊥β. 答案：C
5．过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则该两条射线夹角和二面角的平面角的大小关系是( )
A．相等 C．相等或互补
B．互补 D．以上都不对
解析：由二面角的平面角的做法之“垂面法”可知，当二面角为锐角时相等，为钝角时
互补．
答案：C
6．已知三条互相平行的直线a，b，c，且a?α，b?β，c?β，则两个平面α，β的位置关系是________．
解析：如图①所示，满足a∥b∥c，a?α，b?β，c?β，此时α与β相交．如图②所示，亦满足条件a∥b∥c，a?α，b?β，c?β，此时α与β平行．故填相交或平行．
图① 图②
答案：相交或平行
7．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是______(填序号)． ①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β； ②若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β； ③若α⊥β，l?α，则l⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β. 解析：①中缺少了条件l?α，故①错误． ②中缺少了条件α⊥β，故②错误．
③中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故③错误．
④具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故④正确． 答案：④
8．下列说法中正确的是________(填序号)． ①二面角是两个平面相交所组成的图形； ②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；
③角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角就是二面角的平面角； ④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱． 解析：由二面角的平面角的定义可知④正确． 答案：④
9．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是________．
解析：可作出这两个二面角的平面角，易知这两个二面角的平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．
答案：相等或互补
B级 能力提升
10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算． 24
答案：24或
5
11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动时，则M满足条件________时，有
MN∥平面B1BDD1.
解析：取B1C1的中点R，连接FR，NR， 可证面FHNR∥面B1BDD1，
所以当M∈线段FH时，有MN?面FHNR. 所以MN∥面B1BDD1. 答案：M∈线段FH
12.如图所示，在棱长为 2 cm的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是 P，问过点 A1
作与截面 PBC1平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积．
解：如图所示，取AB的中点M，取C1D1的中点N，连接A1M，A1N，CM，CN.
由于A1N綊PC1綊MC，
所以四边形A1MCN是平行四边形．
由于A1N∥PC1，A1N?平面PBC1， 则A1N∥平面PBC1. 同理，A1M∥平面PBC1. 于是，平面A1MCN∥平面PBC1.
过A1有且仅有一个平面与平面PBC1平行．
故过点A1作与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN. 因为A1M＝MC，A1N綊MC,
所以四边形A1MCN是菱形，连接MN.
因为MB綊NC1，所以四边形MBC1N是平行四边形，所以MN＝BC1＝22 cm. 在菱形A1MCN中，A1M＝5 cm， 所以A1C＝2
?MN?（A1M）－??＝23(cm)． ?2?
2
2
112
所以S菱形A1MCN＝×A1C·MN＝×23×22＝26(cm)．
22
13.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为
a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接BD，则△ABD为正三角形． 因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD中点，所以PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，因为PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PBG. 又因为PB?平面PBG， 所以AD⊥PB.
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，其棱长为1.求证：平面AB1C∥平面A1C1D.
证明：法一：
AA1綊BB1?BB1綊CC1?
??AA1綊CC1?AA1C1C为平行四边形?AC∥A1C1.
AC∥A1C1
??
AC?平面A1C1D??AC∥平面A1C1DA1C1?平面A1C1D???
同理AB1∥平面A1C1DAC∩AB1＝A??
???
平面AB1C∥平面A1C1D.
法二：易知AA1和CC1确定一个平面ACC1A1，于是，
平面ACC1A1∩平面A1B1C1D1＝A1C1?平面ACC1A1∩平面ABCD＝AC平面A1B1C1D1∥平面ABCD?
??A1C1∥AC. ??
A1C1∥AC??
A1C1?平面AB1C??A1C1∥平面AB1C. AC?平面AB1C??
A1C1∥平面AB1C??
同理A1D∥平面AB1C??平面AB1C∥平面A1C1D.
?A1C1∩A1D＝A1?
15．在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC，能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．
解：如图所示，作EM⊥A1C于点M.
因为截面A1EC⊥侧面AA1C1C， 所以EM⊥侧面AA1C1C.
取AC的中点N，因为AB＝BC，
精选高中数学第1章立体几何初步1.2_1.2.4平面与平面的位置关系练习苏教版必修2
