人教版七年级数学下册8.4三元一次方程组的解法教案

由天下分享时间：2025/1/27 2:11:25 加入收藏我要投稿点赞

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8.4 三元一次方程组的解法

1．理解三元一次方程(组)的概念；

2．能解简单的三元一次方程组．

一、情境导入

《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．

问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究

探究点一：三元一次方程组的概念

下列方程组中，是三元一次方程组的是( )

x2－y＝1，??1

A.?y＋z＝0， B.y＋z＝2， ??xz＝21a＋b＋c＋d＝1，m＋n＝18，????C.?a－c＝2， D.?n＋t＝12， ???b－d＝3?t＋m＝0

解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次111

方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程

xyz组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.

方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．

探究点二：三元一次方程组的解法

解下列三元一次方程组： z＝y＋x，①??

(1)?2x－3y＋2z＝5，② ??x＋2y＋z＝13；③

1 用心用情服务教育 ??

???z＋x＝6

＋1＝1，x

XX学校--用心用情服务教育！ 2x＋3y＋z＝11，①??

(2)?x＋y＋z＝0，② ??3x－y－z＝－2.③

解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消

去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．

???4x－y＝5，?x＝2，

解：(1)将①代入②、③，消去z，得?解得?把x＝2，y＝3代入①，

?2x＋3y＝13.?y＝3.??

x＝2，??

得z＝5.所以原方程组的解为?y＝3，

??z＝5；

(2)①－②，得x＋2y＝11.④

①＋③，得5x＋2y＝9.⑤

??x＋2y＝11，

④与⑤组成方程组?

?5x＋2y＝9.?

?x＝－2，

解得?

23?y＝4.

12321

把x＝－，y＝代入②，得z＝－.

244

??23

所以原方程组的解是?y＝4，

21?z＝－?4.

方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．

探究点三：三元一次方程组的应用

【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．

2 用心用情服务教育 1

x＝－，

XX学校--用心用情服务教育！解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0. 解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0. a－b－1＝0，a＝－3，????

可得方程组?b－2a＋c＝0，解得?b＝－4，

???2c－b＝0.?c＝－2.

方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【类型二】利用三元一次方程组求数字问题 3

一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之

和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．

解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.

解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得3y＝z，4