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分析 平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种．
证 如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则
∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．
显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角， 所以 ∠A+∠B+∠C=180°．
说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法． 例5 求证：四边形内角和等于360°．
分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．
证 如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，
又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．
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由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．
(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：
三角形内角和=180°=(3-2)×180°， 四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人们不禁会猜想：
五边形内角和=(5-2)×180°=540°，
?????????? n边形内角和=(n-2)×180°．
这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．
(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．
例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．
分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处． 证 过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．
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又∠1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，
即∠ABC=180°=平角． A，B，C三点共线．
思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否还有同样的结论？ 例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD． 求证：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得． 证 因为∠1=∠2，所以
AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
因为∠D=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．
所以 BC∥EF(平行公理)， 所以
∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．
练习十二
1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
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2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．
3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？
4．证明：五边形内角和等于540°．
5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．
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全国初中（初一）数学竞赛辅导：第12讲 平行线问题
