5.已知平面向量 a, b 的夹角为 ，且| a |? 2,| b |? 1 ，则| a ? 2 b |? （ ）
? ??
?
?? ?? ?? ??
考号
哈尔滨市第六中学校 2024 届第一次模拟考试试题
3
A.4 B.2 C.1 D.
1 6
姓名
文科数学
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试 题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍， 逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示， 若最终输出的 x 的值为（ ） x ? 0 ，则一开始输入的
A. B. C. D. 7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
3
4 7 8 15 16 31
32
班级
装 订
一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A ? B 的子集共有（ ） A ? ?1,2,3,4,5?， B ? ?0,2,4,6?，则集合 A. 2 个 B.4 个
C.6 个 D.8 个
5 Emk 的星的亮度为 Ek (k ? 1,2) 。已知太阳的星等是-26.7，天狼 m2 ? m1 ??lg 1 ，其中星等为
2 E2
星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.10
10.1
B.10.1 lg10.1 C. D.10?10.1
8.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对 兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依 次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
2.已知复数 z 满足 ( z ? i)(1 ? i) ? 3 ? 3i ，则| z |? （ ）
3 A.2 B. C.4 D. 2
??
an ? an?1 ? an?2 (n ? 3, n ? N ) ,其中 a1 ? 1, a2 ? 1, 若从该数列的前 100 项中随机的抽取一个数，
线
2 x
?x? 2 , x ? 0 ?3.设函数 f ( x) ? ?, 则 f (5) 的值为（ ） ? f ( x ? 3), x ? 0
则这个数是偶数的概率为（ ）
A. ? 7 B. ?1 C.0
D.
1
2
x 2 y2
? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的倾 4.双曲线C : 2 ? 2
a b
?
斜角为130,则 C 的离心率为( )
??
9.已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ) ? b( A ? 0) 的最大值、最小值分别为 3 和-1，关于函数 f ( x) 有
3
如下四个结论： （1） A ? 2, b ? 1 ；
1 33 1 67 A. B. C. D. 3 100 2 100
2 sin 40 A． 1
C． sin 50??
?
2 cos 40 B．
D． ?
f ( x) 的图像关于直线 x ? ? （2）函数
1 cos50??
? 2??? ?（3）函数 f ( x) 的图像关于点 ,0??对称； ?? 3 ??
5?
对称； 6
高三一模·文科数学·第 1 页 共 3 页
? ??5? ??
（4）函数 f ( x) 在区间 ??, ? 内是减函数。
6 ??? 6
其中，正确的结论个数是（ ）个。
三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17—— 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答。
C. 3
D. 4
A.1 B. 2
10.设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，9 ?ABC 为等边三角形且面积为
17、（本小题满分 12 分）
已知?an ?是递增的等差数列，a2 ? 3 ,且 a1 , a3 ? a1 , a8 ? a1 成等比数列 (1)求数列?an ?的通项公式；
3 ,则三
棱锥 D ? ABC 体积的最大值为（ ）
A.12 3 B.18 3 C. 24 3 D. 54 3
(2)若bn
3 an an?1
??
11.已知 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点，过 F 的直线 A, B 两点（点 A 在第四象限）， l 交抛物线于
，求数列?bn ?的前 n 项和 S n 。
若 BF ? 2 FA ,则| AB | 的值为（ ）
5 9 81
A. B. C. D. 64
? ??
2 2 4
12.已知定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ， f ( x) ? 0 且 f (e) ? 1 ，若对任意
18、（本小题满分 12 分）
1 x ? (0,??) ， xf ?( x) ln x ? f ( x) ? 0 恒成立，则不等式 ? ln x 的解集为（ ）
f ( x)
A.?x | 0 ? x ? 1? B.?x | x ? 1?
C.?x | x ? e?
D.?x | 0 ? x ? e?
如图，在四棱锥 2 的正方形， P ? ABCD 中，底面 ABCD 是边长为
装
PA ? PD ??2, PB ? PC ? 6
（1）证明：平面 PAD ? 平面 ABCD ；
（2）若点 E 为线段 PA 的中点，求点 E 到平面 PBC 的距离。
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y ? 2 ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 .
订
? y ? 1 ?
14.已知实数 x, y 满足约束条件 ??x ? y ?1 ? 0 ，则 z ? 2 x ? y 取最大值时的最优解是 .
??x ? y ? 4 ? 0 ?
线
45， 15.在长方体 ABCD ? A B C D AB ? 2BC ? 2 ，直线 DC 1 与平面 ABCD 所成的角为 1 1 1 中， 1
则异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值为 . 16.在 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 ?ABC 中，角
?
C ? . sin B ? sin A? (sinC ? cosC) ? 0, a ? 2, c ??2 ，则
高三一模·文科数学·第 2 页 共 3
页
考号
姓名
班级
装
订
线
19.（本小题满分12分）
21、（本小题满分 12 分）
某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y （单位：万
已知函数
f ( x) ? ln x ? 1
x 2 ? ax(a ? R) , g ( x) ? 3 x 2 ? x 件）与月销售单价 x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量 y2 2
i 和 （1）当 a ? ?4 时，求函数
f ( x) 的单调区间； 月销售单价 x
i （ i ? 1,2,3,4,5,6 ）数据进行了数据分析，得到一组检测数据如
（2）定义：对于函数 f ( x) ，若存在 x 0 ,使 f ( x 0 ) ? x 0 成立，则称 x 0 为函数 f ( x) 的不动点。 表所示： 月4 5 6 7 8 9 如果函数 F ( x) ??f ( x) ? g ( x) 存在不动点，求实数a
的取值范围。 销月销售量 y （万件） 89 83 82 79 74 67
（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工 求
得回归直线方程分别为：
y ?? ? ?4x ?105?? ??
， y ? 4x ? 53 ， y ? ?3x ?104 ，其中有且仅有一位实习员工的
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。 计算结果是正确的。请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是 正如果多做，则按所作的第一题计分。
确的，并说明理由；
22、（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 （2）若用 y ? ax2 ? bx ? c 模型拟合 y 与x 之间的关系，可得回归方程为
?x ? 2 ? 2 cos??在直角坐标系 xOy 中，曲线C : ???
??
y ? 2 sin??
(?为参数) ，直线
y ? ?0.375x2 ? 0.875x ? 90.25 ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型
l : ??x ?? ?1? t cos ??
的相关指数 R2 分别为0.9702和0.9524，请用 R2 说明那个回归方程的拟合效果更
? y ? t sin ??
(t为参数) ，以原点O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 好； （3）已知该商品的月销售额 z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题： (1)求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程；
当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据 (2)若直线 l 与曲线 C 相交，交点为A , B ，直线与 x 轴交于Q 点，求| QA | ? | QB | 的取值范围。 6547 ? 80.91
23、（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
20、（本小题满分12分）
已知对任意实数x
，都有| x ? 2 | ? | x ? 4 | ?m ? 0 恒成立 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C
: x 2 ? y2
4 3
? 1 交于A , B 两点，线段 AB 的中点为 (1)求实数 m 的取值范围；
M (1, m)(m ? 0)
1
(2)若 m 的最大值为 n ，当正数 a, b 满足 4
??
1 ?
n
时，求 4a ? 7b 的最小值。
(1)证明: k ? ? 2 ；
a ? 5b 3a ? 2b 6
??
??
??
??
高三一模·文科数学·第 3 页 共 3
页
(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP? FA? FB ? 0 ，证 明: 2 | FP |?| FA | ? | FB | 。 ??
??
??
4·
·
文科数学答案
1--5 BADDB, 6--10 CABCB, 11-12 BC 13.y?2x?2 14. ?3,1? 15.?10 16. 56??a1?1?a1?d?3add?0????(1)设数列的公差为，由已知得，解得17. .------------4分 ??n2d?2a2a?7d?2d??????1?1?an?1?2?n?1??2n?1. ------------6分 (2)bn?333?11?????， ------------8分 anan?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??3?11111?3n? Sn???1????...?. ------------12分 ??2?3352n?12n?1?2n?118.（1）由题意知AB?AD，AB?2.
因为PA?2，PB?6，所以PA2? AB2?PB2，所以AB?PA. 因为PA，AD?平面PAD，PAIAD?A，
所以AB?平面PAD. ------------4分
因为AB?平面ABCD，所以平面PAD?平面ABCD. ------------6分 （2）如图，取AD中点F，连接PF，CF.
因为PA?PD?2，AD?2，所以PF?AD，PF?1.
因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，所以PF?平面ABCD. PF?平面PAD，112又因为S△ABC?2，所以VP?ABC?S△ABC?PF??2?1?,在△PBC中，BC ?2，PB?PC?6，
3332512所以S△PBC?5.记点A到平面PBC的距离为d，VP?ABC?S△ABC?d?，所以d?.
533又因为点E为线段PA的中点，所以点E到平面PBC的距离为
19.（1）由数据知x,y相关关系为负相关，乙的结果不正确； 根据样本中心点(x,y)=(____5. ------------12分 513,79)满足回归直线方程知甲的结果正确； -----------4分 22（2）根据相关指数0.9702>0.9524，
所以回归方程y??0.375x?0.875x?90.25的拟合效果更好 -----------6分
·5·
?
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024届高三第一次模拟考试 数学(文)
