圆锥曲线的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：e?c （其中c为圆锥曲线的半焦距） a（1）椭圆：e??0,1? （2）双曲线：e??1,+??
2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系 （1）椭圆：a?b?c，
① 2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF1?PF2?2a ② 2b：短轴长 ③ 2c: 椭圆的焦距 （2）双曲线：c?b?a
① 2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF1?PF2?2a ② 2b：虚轴长 ③ 2c: 椭圆的焦距
3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
222222
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e??0,1?，双曲线：e??1,+?? 二、典型例题：
x2y2例1：设F1,F2分别是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，点P在椭圆C上，线
abo段PF1的中点在y轴上，若?PF1F2?30，则椭圆的离心率为
（ ） A．
3311 B． C． D． 3636思路：本题存在焦点三角形VPF1F2，由线段PF1的中点在y轴上，O为F1F2中点可得
PF2∥y轴，从而PF2?F1F2，又因为?PF1F2?30o，则直角三角形VPF1F2中，
PF1:PF2:F1F2?2:1:3，且2a?PF1?PF2,2c?F1F2，所以F1F2c2c3?e???? a2aPF1?PF23答案：A
小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。
x2y2??10?b?23与渐近线为x?2y?0的双曲线有相同的焦点例2：椭圆
12b2??F1,F2,P为它们的一个公共点,且?F1PF2?90o,则椭圆的离心率为________
思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设F1F2?2c，在双曲线中，
b'1??a':b':c?2:1:5，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：'a2
PF1?PF2?43，由双曲线定义可得：PF1?PF2?2a'?4c，因为?F1PF2?90o，52?PF1?PF2?4c2而PF1?PF22222?PF1?PF2?=2??PF1?PF2?
216c2c30?8c2?c?10 ?e??代入可得：48?
a65答案：30 6小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。
x2y2例3：如图所示，已知双曲线2?2?1?a?b?0?的右焦点为F，过F的直线l交双曲
abuuuruuur线的渐近线于A,B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF?2FB，
则该双曲线的离心率为（ ） A.
3223305 B. C. D. 4352思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,b,c 表示，再寻找一个等量关系解出a,b,c 的关系。双曲线的渐近线方程为y??bx，由直线l的倾a斜角是渐近线OA倾斜角的2倍可得：
2b2ab，确定直线l的方程为kOA?a2?2ba?b21?2a2aby?2x?c?，与渐近线联立方程得 2?a?b2ab?y??x?c?uuuruuur?2abc2abc?a2?b2?y??2ory?2将AF?2FB转化为坐标语言，?22b3a?ba?b?y???a?则yA??2yB ，即2abc2abc2a:b:c?3:1:2，解得，从而?2?e?3 2222a?b3a?b3
答案：B
x2y2例4：设F1，F2分别为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，双曲线上存在一点Pab9ab,则该双曲线的离心率为 4459A. B. C. D.3 334使得|PF1|?|PF2|?3b,|PF1|?|PF2|?思路：条件与焦半径相关，所以联想到PF1?PF2?2a，进而与
|PF1|?|PF2|?3b,|PF1|?|PF2|?解：QPF1?PF2?2a
9ab,找到联系，计算出a,b的比例，从而求得e 4??PF1?PF222???PF212?PF2?2?4PF1?PF2
2即9b?4a?9ab?9b?9ab?4a?0
b1b4b?b??9???9??4?0 解得：??（舍）或?
a3a3a?a?2?a:b:c?3:4:5 ?e?答案：B
c5? a3x2y2例5：如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的四
ab个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线A1B2,B1F的方程含a,b,c，联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示（T??2acb?a?c??,?），则OT中点a?ca?c???acb?a?c??M?,，再利用M点在椭圆上即可求出离心率e ?a?c2?a?c?????
解：直线A1B2的方程为：
xy??1； ?ab?bx?ay??abxy直线B1F的方程为：? ?1，联立方程可得：?cy?bx??bcc?b?解得：T(2acb(a?c),)， a?ca?cx2y2acb(a?c),)在椭圆2?2?1(a?b?0)上， 则M(aba?c2(a?c)c2(a?c)2??1,c2?10ac?3a2?0,e2?10e?3?0 22(a?c)4(a?c)解得：e?27?5 答案：e?27?5
x2y21?a?0,b?0?的左焦点，E是该双曲线的右顶点，例6：已知F是双曲线2－2＝过点F
ab且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若VABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 （ ）
A． ?1,??? B． ?1,2? C． 1,1??2 D． 2,1?2
???思路：从图中可观察到若VABE为锐角三角形，只需要?AEB为锐角。由对称性可得只需
b2????AEF??0,?即可。且AF,FE均可用a,b,c表示，AF是通径的一半，得：AF?，
a?4?b2c2?a2c?a所以tanAEF???1??1??1?e?2，FE?a?c，
FEa?a?c?a?a?c?aAF即e??1,2? 答案：B
小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题
全国高考数学复习微专题：离心率问题
