∵AE ＝BE
∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，
∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT， ∴∠TAE＝∠ATE， ∴AE＝TE， ∵DT＝TE， ∴AE＝DT，
∵∠AGE＝∠DHT＝90°， ∴△EAG≌△TDH（AAS）， ∴AG＝DH， ∵AE＝EB，EG⊥AB， ∴AG＝BG， ∴2DH＝AB，
∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），
∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL， 设DH＝x，则AB＝2x， ∵AD＝8，DB＝12，
∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x， ∴x＝5，
∴DH＝5，AB＝10， 设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，
1111?BD?AQ=?AD?h+?AB?h+?DB?h， 2222∴12AQ＝（8+12+10）h，
5∴AQ＝h，
2hAPAP∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得＝＝，
mAD8∵S△ADB=
5APAQAQhsin∠AED＝sin∠ABD，可得＝＝＝2，
mAB1010
5mAPAP?∴＝28， m10
解得m＝42或﹣42（舍弃）， ∴DE＝2m＝82． 【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
8．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=
3，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直4线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=
1CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒． 3
（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF； （2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；
（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值． 【答案】（1）BQ=5t，DF=【解析】
试题分析：（1）AB与OD交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD的长，即可表示出FD；
（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）BQ?5t，DF=213t;（2）;（3）t的值为或3． 3652t； 3235122?1?1（2）DE=OD-OE=t+1-t=1-t，S?DF·DE?t?1?t????t???，∴当t=
22233?2?6时，矩形DEGF的最大面积为
1； 6
（3）当矩形DEGF为正方形时，1?t?223t或t?1?t,解得t?或t?3. 335
9．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．
(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；
(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在(2)中，当重叠部分图形的周长关系时的x的取值范
时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关
系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置
围.
【答案】（1）
8?（2）3（0≤x≤180） （3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和
0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交 【解析】
试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°, ∴
解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B
?=∴AO1BO2是菱形 ∴∠AO2B=∠AO1B=120° ∴l=2×A(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度, ∴重叠图形的周长(3) 当
, 即
（0≤x≤180）
时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！
，由（2）可知：
， 解之x=90度
理由如下：∵
∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A, 而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．
还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交 考点：直线与圆的位置关系
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC． （1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
【答案】（1）45°；（2）EA2+CF2＝EF2，理由见解析；（3）62 【解析】 【分析】
（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案； （2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B作BN⊥BE，使BN=BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2，将相关线段代入即可得出结论；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2=EF2，变形推得S△ABC=S矩形BGKH，S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案． 【详解】
解：（1）如图1，
∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下： 如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°， 又∠ABC＝90°， ∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN， ∴△AEB≌△CNB（SAS）， ∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°， ∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF， ∴△BFE≌△BFN（SAS）， ∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2， ∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）知EA2+CF2＝EF2， ∴
121212
EA+CF＝EF， 222∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH， 即S△ABC＝S矩形BGKH， ∴
11S△ABC＝S矩形BGKH， 22∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
九年级数学上册 圆 几何综合单元试卷(word版含答案)
