第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2014年9月20日
一、（12分） （1）球形
（2）液滴的半径r、密度?和表面张力系数?（或液滴的质量m和表面张力系数?） （3）解法一
假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为
f?kr????? ①
式中，比例系数k是一个待定常数. 任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a?{a}[a]. 按照这一约定，①式在同一单位制中可写成
{f}[f]?{k}{r}?{?}?{?}?[r]?[?]?[?]?
由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而 [f]?[r]?[?]?[?]? ② 力学的基本物理量有三个：质量m、长度l和时间t，按照前述约定，在该单位制中有 m?{m}[m]，l?{l}[l]，t?{t}[t] 于是
[f]?[t]?1 ③ [r]?[l] ④ [?]?[m][l]?3 ⑤ [?]?[m][t]?2 ⑥ 将③④⑤⑥式代入②式得
[t]?1?[l]?([m][l]?3)?([m][t]?2)? 即
[t]?1?[l]??3?[m]???[t]?2? ⑦ 由于在力学中[m]、[l]和[t]三者之间的相互独立性，有
??3??0， ⑧ ????0， ⑨ 2??1 ⑩ 解为
311 ???,???,?? ?
2221
将?式代入①式得 f?k 解法二
假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为
f?kr????? ①
? ? 3?r式中，比例系数k是一个待定常数. 任一物理量a可写成在某一单位制中的单位[a]和相应的数值{a}的乘积a?{a}[a]. 在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等
[f]?[r]?[?]?[?]? ②
力学的基本物理量有三个：质量M、长度L和时间T，对应的国际单位分别为千克（kg）、米（m）、秒（s）. 在国际单位制中，振动频率f的单位[f]为s，半径r的单位[r]为m，密度?的单位[?]为kg?m?3，表面张力系数?的单位[?]为N?m=kg?(m?s)?m?kg?s，即有 [f]?s?1 ③ [r]?m ④ [?]?kg?m?3 ⑤ [?]?kg?s?2 ⑥ 若要使①式成立，必须满足
?1?2?1?2?1
s?1?m??kg?m?3???kg?s?2??(kg)????m??3??s?2? ⑦
?由于在力学中质量M、长度L和时间T的单位三者之间的相互独立性，有 ??3??0， ⑧ ????0， ⑨ 2??1 ⑩ 解为
311 ???,???,?? ?
222将?式代入①式得 f?k
? ? ?r32
评分标准：本题12分. 第（1）问2分，答案正确2分；第（2）问3分，答案正确3分；第（3）问7分，⑦式2分，?式3分，?式2分（答案为f?分）.
二、(16分)
解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程：
放气(绝热膨胀)等容升温(pi,V0,T0,Ni)????????(p0,V0,T,Nf)??????(pf,V0,T0,Nf)
???f?kf?、或的，也给这2
mm?r3其中，(pi,V0,T0,Ni),(p0,V0,T,Nf)和(pf,V0,T0,Nf)分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程pV?NkT，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有
pfpi?NfNi ①
另一方面，设V?是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p0时的体积，即
绝热膨胀 (pi,V0,T0,Ni)?????(p0,V?,T,Ni)
此绝热过程满足
V0?p0???? ?V?pi?1/?②
由状态方程有p0V??NikT和p0V0?NfkT，所以 联立①②③式得
NfNi?V0 ③ V??p0?? ?pi??pi?此即
pf1/? ④
pip0 ??pi ⑤
lnpfln由力学平衡条件有
pi?p0??ghi ⑥ pf?p0??ghf ⑦
3
式中，p0??gh0为瓶外的大气压强，?是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小.由⑤⑥⑦式得
ln(1?hi)h0 ??hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0 ⑧
利用近似关系式：当x1, ln(1?x)?x，以及 hi/h01, hf/h01，有
??hi/h0hi?hi/h0?hf/h0hi?hf ⑨
评分标准：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分．
解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程ab，再通过等容升温过程bc达到末态
绝热膨胀ab等容升温bc(pi,V1,T0)??????(p0,V0,T)??????(pf,V0,T0)
其中，(pi,V1,T0),(p0,V0,T)和(pf,V0,T0)分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度．留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程
ab: pi??1T0???p0??1T?? ①
bc: p0/T?pf/T0 ②
由①②式得
1/??p0?? ?pi??pi?此即
pf ③
pip0??
pi ④ lnpfln由力学平衡条件有
pi?p0??ghi ⑤ pf?p0??ghf ⑥ 式中，p0??gh0为瓶外的大气压强，?是U形管中液体的密度，g是重力加速度的大小．由④⑤⑥式得
4
ln(1? ??hi)h0hhln(1?i)?ln(1?f)h0h0 ⑦
利用近似关系式：当x1, ln(1?x)?x，以及 hi/h01, hf/h01，有
hi/h0hi???hi/h0?hf/h0hi?hf ⑧
评分标准：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．
三、（20分）
（1）平板受到重力PC、拉力QM0、铰链对三角形板的作用力NA和NB，各力及其作用点的坐标分别为：
PC?(0,?mgsin?,?mgcos?)，(0,0,h)；
QM0?(0,Q,0)， (x0,0,z0)； NA?(NAx,NAy,NAz)，
b(,0,0)； 2bNB?(NBx,NBy,NBz)， (?,0,0)
2式中
12b2a? h? 34是平板质心到x轴的距离.
平板所受力和（对O点的）力矩的平衡方程为
0① ?F?N?N?
② ?F?Q?N?N?mgsin??0
③ ?F?N?N?mgcos??0
④ ?M?mghsin??Q?z?0xAxBxyAyByzAzBzx0?My?NBzbb?NAz?022
⑤
5
2014年第31届物理竞赛复赛参考答案（word版）
