重庆市巴蜀中学高2024届高一(下)期末考试数学试题
一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）
1．已知向量 ， ， ， ，若 ，则k＝（ ） A．
B．4
x
C．
D．﹣4
[
2．已知命题p：?x∈（1，+∞），x﹣e＜0，则￢p为（ ） A．?x∈（﹣∞，1]，x﹣e≥0 B． ， ， C．?x∈（1，+∞），x﹣e≥0 D． ， ，
3．已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（ ） A．a＞b
2
2
xx
B．a﹣b＞1 C．
＞
D．a＞b
33
4．若等差数列{an}满足a3+a2024＝4，则{an}的前2024项之和S2024＝（ ） A．2024
B．2024
C．4042
D．4040
5．在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（ ） A．9π
B．36π
C．6π
D．24π
6．已知角 ， ，则A．2
的最小值为（ ）
C．4
D．3
B．1
7．已知实数x，y满足约束条件 ，则z＝x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．1
D．2
8．已知直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是（ ） A．m＝﹣2
B．m＝1
C．m＝﹣2或m＝1 D．m＝2或m＝1
2
2
9．已知实数 ，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）+（y﹣m）＝m的位置关系为（ ） A．相交
B．相切
C．相离
D．相交或相切
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B ，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若圆 ： ＞ 始终平分圆 ： 的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（ ） A． B． C．
D．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得 ，则角B的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分） 13．已知单位向量 ， 夹角为，则 ．
14．已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为 ．
15．已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N，都有：am+n＝am+an+mn，则a19＝ ． 16．已知点P为△ABC内的一点，且 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分） 17．已知圆 ： 12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上． （1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．
18．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ， ， ， ， ． （1）求角B；
（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积． 19．已知数列{an}为等比数列，公比q＞0，Sn为其前n项和，且a1＝4，S3＝28． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足： ，求数列{bn}的前n项和Tn． 20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若 ， ， ，求角B；
（2）若 ， ，求△ABC周长的取值范围．
21．已知数列{an}各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn满足：? ， ．
*
（1）求a1的值及数列{an}的通项公式； （2）若
，且cn＝an×bn．
证明：对一切正整数n，有 ＜ ． 22．已知圆O：x+y＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．
（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点． 2
2
一、 1D． 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D 11．B 12． 二、
13．单位向量 ， 夹角为，则 1．
14．直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0， 则l1与
l2之间的距离为：
．
*
15．解法一：数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N，都有：am+n＝am+an+mn， ∴a2＝3， a3＝6， a4＝10， a8＝36， a16＝136， a19＝190，
解法二：数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N，都有：am+n＝am+an+mn， 令m＝1，可得a1+n＝a1+an+n， an＝a1+an﹣1+n﹣1， an﹣1＝a1+an﹣2+n﹣2， …
*
a2＝a1+a1+1，
累加可得：an＝（n﹣1）a1+a1+1+2+…+n﹣1 可得an
． ∴a19＝190，
16．取AB的四等分点为E，取AC的三等分点为F， 以AE，AF为相邻两边作平行四边形AFPE， 作EG⊥AC，BH⊥AC， 由图可知：
，
三、
17．（1）由题意可得：圆心坐标（，4），圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上，所以 4?
4﹣12＝0?m＝8
所以圆的标准方程为：（x﹣4）+（y﹣4）＝4
（2）斜率不存在时x＝6，显然圆心（4，4）到x＝6的距离为2，正好等于半径，所以x＝6是其中一条切线；当斜率存在时，设斜率为k，则过A点的直线方程为：y＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k＝0，圆心到直线的距离等于半径2，2
2
22
2?
（k+2）＝k+1?k ，所以直线l的方程是3x+4y﹣18＝0． 综上，所求的切线方程是：x＝6或3x+4y﹣18＝0．
18．（1）因为向量 ， ， ， ， ． 所以bsinA﹣acosB＝a，
由正弦定理可得：sinAsinB﹣sinAcosB＝sinA， 所以sinB﹣cosB＝1，即2sinBcosB＝0， 又B∈（0，π），所以B ；
（2）因为sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，
重庆市巴蜀中学2024-2024学年高一下学期末考试数学试题
