求解曲线的离心率的值或范围问题
一．方法综述
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几
c2a2?b2b2=1?() 种情况：e=2=2aaa2①根据题意求出a,b,c的值，再由离心率的定义椭圆、
c2a2?b2b2=1?()直接求解； 双曲线e=2=2aaa2②由题意列出含有a,b,c的方程(或不等式)，借助于椭圆b2＝a2－c2、双曲线
b2＝c2－a2消去b，构造a,c的齐次式，求出e；
③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解．
解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标
?a?x0?a等．
二．解题策略
类型一 直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e 【例1】 已知双曲线
的右焦点为抛物线
的
焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为则双曲线的离心率为( ) A．
B．
C．
，若点在该双曲线上，
D．
【答案】B 【解析】
设，则，所以抛物线的方程为.
1
因为点到双曲线的一条渐近线的距离为不妨设这条渐近线的方程为
，即
，
，则
，
又点故故选B.
在双曲线上，所以
，即
.
，解得，
【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出
的值,可得；（2）建立
的齐次关系式,将用
表示,令两边同除以或
化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 【举一反三】 1. 设抛物线
的焦点为，其准线与双曲线
的两个
交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心
率的取值范围是（ ） A．【答案】A 【解析】 因为抛物线将则
代入
，
得
，所以
，准线为
，
B．
C．
D．
，不妨设为右支上的点，
因为是等边三角形，则，即，
2
所以，
.
因此双曲线的离心率为故选A
2. 平面直角坐标系xOy中，双曲线
：
的两条渐近线与
抛物线C：离心率为
交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的
A． B． C．2 D．
【答案】B 【解析】
解：联立渐近线与抛物线方程得由三角形垂心的性质，得
，即
，
，
，抛物线焦点为
，
所以，所以，
所以，所以的离心率为．
故选：B．
类型二 构造a，c的齐次式，解出e 【例2】 已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线
MN过F2，且与双曲线右支交于M、N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，则双曲线的离心率等于_______． 【答案】2
3
，
求解曲线的离心率的值或范围问题
