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2.2 稳定性的基本概念
本节主要介绍了李雅普诺夫意义下的稳定性的定义，李雅普诺夫函数以及采用李雅普诺夫直接法所得到的稳定的、渐近稳定的、大范围渐近稳定和不稳定的概念，并利用适当的例子来阐述概念之间在理解上可能造成的误解。 2.2.1 常用符号说明
英文大写字母用来表示矩阵，例如A，B，X，Y量，例如a，b，x，y；英语小写字母用来表示向
。用带下标的小写希腊字母表示向量的分量和矩阵的元素，
希腊字母的选取和所表示的向量和矩阵的英文字母相对应，其下标表示他在向量和矩阵中的位置，例如a的第i个分量表示为ai，A的?i ，j?元素表示为aij等。用小写希腊字母表示标量，例如?，?，?，?2.2.2 李雅普诺夫意义下的稳定性概念 设系统的状态方程是
X??(X,t) (1.1)，
?。一般用t表示时间。
其中，X是系统的状态向量，n?1矩阵即X??x1x2及时间t的函数向量即??X,t????f1?x1,t?f2?x2,t?xn?；???,t?是状态向量XTf?xn,t??设在已给定的初始?。
T条件下，系统的状态方程（1.1）有唯一解??t,X0,t0?且??t,X0,t0??X0，其中t是时间变量， t0为初始时刻，X0为状态向量X的初始值。 由（1.1）给出的系统，对于所有的t，如果总存在
??Xe,t??0 ?1.2?，那么Xe则称为系统的平衡状态。对于线性定常系统，则?(X,t)?AX，并且当A是非奇异矩阵时，该系统的平衡状态唯一；当A为奇异矩阵时，则该系统的平衡状态有无穷多个。如果系统是非线性系统，则系统的平衡状态可以有一个或多个，且与系统的常直解相对应。系统的平衡状态Xe可以通过坐标变换转移到坐标原
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点即?(0,t)?0处。所以，研究系统的稳定性，重点是研究系统平衡状态的稳定性，尤其是分析坐标原点所代表的状态的稳定性。
在介绍稳定性定义之前首先引入一个定义欧几里德范数，即应用范数表示以平衡状态Xe为圆心，，半径是k的球域
X?Xe?k,
式
中
X?Xe称
2为欧几里德范数，
X?Xe??x1?xe1??(x2?xe2)2?(xn?xen)2 当满足Xe?0及n?2时，
X?x12?x12?c即x12?x22?c2，其表示状态平面上以原点为圆心c为半径的
圆；当满足Xe?0及n?3时X?x12?x22?x32，其表示以状态空间原点为球心c为半径的球域。
设S(?)是含有满足X?Xe??的所有点的一个球域，S(?)是含有满足
??t，X0，t0??Xe???t?0t?的所有点的一个球域，其中?，?为给定的常数。
那么李雅普诺夫意义下的稳定性定义可以表述为，如果系统X??(X,t)对任意给定的??0存在一个实数???，t0??0，使得当X?Xe??时，恒有
??t，X0，t0??Xe???t0?t???，则称系统的平衡状态是稳定的。
?定义中?与?、t0有关，当?与t0无关时平衡状态Xe称为一致稳定的平衡状态。从定义我们可以看出，如果对于每一个球域S(?)总存在一个球域S(?)使得t不断增大时，从S(?)出发的轨迹不会离开S(?)，那么系统的平衡状态Xe是在李雅普诺夫意义下稳定的。
若Xe是系统X??(X,t)的稳定平衡状态，即从S(?)出发的每一条运动轨迹
???t,X0,t0?，无论t多大都离不开球域S(?)，并且最终都能够收敛到Xe的附近，即lim??t，X0，t0??Xe??，其中?是任意选取的微量，则称平衡状态Xe为
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渐近稳定的。若状态方程（1.1）在任意初始条件下的解，无论t多大都收敛于Xe，则称其为大范围渐近稳定。简而易见，大范围渐近稳定的必要条件是状态空间内平衡状态唯一。如果线性系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定。若从球域S(?)出发的轨迹无论S(?)多小，只要有一条轨迹脱离S(?)，则称其不稳定的。 2.2.3李雅普诺夫函数和标量函数定号性
（1）李雅普诺夫函数
由于系统的形式多种多样，所以很难找到一种定义“能量函数”的统一形式和简便方法。为了解决这一问题，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数。它是具有更一般形式和能量含义的函数。在应用中，只要符合李雅普诺夫稳定性定理的假设条件，任意一个标量函数都可以作为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础[12]。
李氏函数和状态变量x1,x2,,xn及时间t有关系，一般用V?X,t?表示。用
V?X?表示不含t的李雅普诺夫函数。此函数的形式并不是惟一的，其中最简单的形式是二次型函数V?x??xTAx。二次型的形式一定适合线性系统。对于非线性系统来说V?X?不一定都是这种简单形式。在李雅普诺夫第二法之中，根据李雅普诺夫函数V?X,t?和对时间t的导数V?X,t??状态的稳定性，不需要求解系统的状态方程。
（2）标量函数定号性
如果对所有在域?内的非零状态X恒有V?X??0，以及在X?0处有
dV?X,t?的符号特征判断平衡dtV?0??0，那么标量函数V?X?在域?内是正定。如果标量函数V?X?除了在状态空间原点以及某些状态处等于零外，对于域?内的所有状态均为正定，那么
V?X?是正半定。
如果?V?X?是正定，那么标量函数V?X?是负定。如果?V?X?是正半定，
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那么标量函数是负半定。如果无论域?取多小，V?X?既可以是正也可以是负，那么这类标量函数称为不定。
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2.3 判别系统稳定性的李雅普诺夫方法
2.3.1李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法，其基本思想是通过系统状态方程的解的情况进而判别系统的稳定性。对于线性定常系统只要解出特征方程的根就可以判断出系统的稳定性；而非线性不严重的系统可以先进行线性化处理，得到与之相似的线性化方程，进而再根据其特征根来判断系统的稳定性。
设系统的状态方程X??(X,t)，其中，X是系统的状态向量；?(X,t)是n维向量函数，且对于状态向量X有连续偏导数存在。若系统的平衡状态Xe?0，将系统的状态方程在Xe?0邻域展成泰勒级数得
?X?AX?B(X) ?1.3?,
???1??x?1???2??(X,t)????x1其中 A?T?X?????n???x1????1?x2??2?x2??n?x2??1??xn????2??xn?.
?????n??xn??AX是状态方程X??(X,t)的一次近似，B?X?是一阶以上各高阶导数项的总和。
李雅普诺夫第一法的主要内容：
（ⅰ）若在一次近似式的系统状态方程的系统矩阵A的特征值都是负实部，则系统在平衡点Xe?0处是稳定的，且系统的稳定性与高阶导数项无关。
（ⅱ）若在一次近似式的系统状态方程的系统矩阵A的特征值中至少有一个含有正实部时，无论高阶导数项情况如何，系统在平衡点Xe?0处不稳定。
（ⅲ）若一次近似式的系统状态方程的系统矩阵A包含有等于零的特征值，则系统的稳定性由高阶导数项B?X?决定。当B?X??0时，系统处于平衡状态。
因此，李雅普诺夫第一法是依据系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。
以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，
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