益思元学校高二数学复习讲义—导数及其应用
知识清单
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f（x0+?x）－f（x
0），比值
?y叫做函数y=f（x）在x?x0到x
0+?x之间的平均变化率，即
?yf(x0??x)?f(x0)?y=。如果当?x?0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可
?x?x?x导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。 即f（x0）=lim说明：
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指?x?0时，函数在点x0处不可导，或说无导数。
（2）?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量?y=f（x0+?x）－f（x0）； （2）求平均变化率
?yf(x0??x)?f(x0)=；
?x?x?y。
?x?0?x?y?y有极限。如果不存在极限，就说?x?xf(x0??x)?f(x0)?y=lim。
?x?x?x?0?x?0
（3）取极限，得导数f’(x0)=lim2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。 3．几种常见函数的导数:
①C??0; ②?xn???nxn?1; ③(sinx)??cosx; ④(cosx)???sinx;
11⑤(ex)??ex;⑥(ax)??axlna; ⑦?lnx???; ⑧?logax???logae.
xx
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (u?v)'?u'?v'.
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'?u'v?uv'.
若C为常数,则(Cu)'?C'u?Cu'?0?Cu'?Cu'.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)'?Cu'.
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
u'v?uv'?u?再除以分母的平方：??‘=（v?0）。 2vv??形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X
5.单调区间：一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导， 如果f'(x)?0，则f(x)为增函数； 如果f'(x)?0，则f(x)为减函数；
如果在某区间内恒有f'(x)?0，则f(x)为常数；
6.极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 7．最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?(x)在(a，b)内的极值； ②求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；
③将函数? (x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
高考题型
1.导数定义的应用
例1 (2008北京高考）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为
(0，，，，，4)(20)(64)， limf?1??x??f?1??_________．
?xy 4 3 2 1 A C ?x?00?x?2??2x?4 解：由图可知f?x???，根据导数的定义
2?x?3?x?2 f?1??x??f?1??f??1???2． 知lim?x?0?xB O 1 2 3 4 5 6 x 例２(2006重庆高考)已知函数f?x???x2?bx?c?ex,其中b,c?R，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若
b2?4?c?1?,且limx?0f?x??c?4，试证：?6?b?2． x解：f??x???x2??b?2?x?b?c?ex，易知f?0??c．故
limx?0f?x??cf?x??f?0??lim?f??0??b?c，
x?0xx?0?b?c?4,所以?2解得?6?b?2．
?b?4?c?1?,2. 利用导数研究函数的图像
例3 （2009安徽高考）设a＜b,函数y?(x?a)2(x?b)的图像可能是
解：y/?(x?a)(3x?2a?b)，由y/?0得x?a,x?x?2a?b，∴当x?a时，y取极大值0，当32a?b时y取极小值且极小值为负．故选C．或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C． 3点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.
例4（2009年湖南卷）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数， ．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
y y y y o a b x o a
o b x a
o b x a
b x
A ． B． C． D． 解: 因为函数y?f(x)的导函数．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.
点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 3.利用导数解决函数的单调性问题
例5（2008全国高考）已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；高考资源网
?21???内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间??，33??解：（1）f(x)?x3?ax2?x?1求导得f?(x)?3x2?2ax?1 当a2?3时，??0，f?(x)?0，f(x)在R上递增；
?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?，
32???a?a2?3?a?a2?3???a?a2?3??a?a2?3?，，???递即f(x)在???，?递增，??递减， ???????3333??????增。
?21??21???内是减函数，所以当x???，??时f??x??0恒成立，（2）因为函数f(x)在区间??，?33??33???2??f???3??0???结合二次函数的图像可知?解得a?2．
?f???1??0?????3?点评：函数在某区间上单调转化为导函数f??x??0或f??x??0在区间上恒成立问题，是解决
??a?a2?3?a?a2?3?，这类问题的通法．本题也可以由函数在??上递减，所以
??33????a??????a???a2?32??33求解． a2?31??331312x?ax??a?1?x?1在区间?1,4?上是减函数，32【变式1】（2004年全国高考）若函数f?x??在区间?6,???上是增函数，求实数a的取值范围．
解：f?x??x2?ax??a?1?，令f??x??0得x?1或x?a?1，结合图像知4?a?1?6，故
a??5,7?．
点评：本题也可转化为f??x??0，x??1,4?恒成立且f??x??0，x??6,???恒成立来解． 【变式2】（2009浙江高考）已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)．若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．解：函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于f??x??0在区间(?1,1)上有实数解，且无重根．
a?2又f??x??3x2?2?1?a?x?a?a?2?，由f??x??0，得x1?a,x2??。从而
3a?2??1???1,??1?a?1,??1?a?1,??5?a?1,?????3解得?或? a?2或??11a?2a??,?a??,a??,???a??.322????3?1??1??所以a的取值范围是??5,?????,1?.
2??2??点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，
高考中应高度重视。
（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题
15例6 （2009江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x3和y?ax2?x?9都相切，则a4等于
25217257A．?1或- B．?1或 C．?或- D．?或7
4464464解：设过(1,0)的直线与y?x3相切于点(x0,x03)，所以切线方程为y?x03?3x02(x?x0)
3即y?3x02x?2x03，又(1,0)在切线上，则x0?0或x0??，
21525当x0?0时，由y?0与y?ax2?x?9相切可得a??，
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(word完整版)高二数学导数及其应用复习讲义有答案
