??j?LI???U111?j?MI2?R1I1 ??j?LI???U222?j?MI1?R2I2
??U?联立方程可得到 已知U12??I1?(j?L2?R2?j?M)U1(j?L1?R1)(j?L2?R2)?(?M)?(j?L1?R1?j?M)U2(j?L1?R1)(j?L2?R2)?(?M)22
??I2
??U??50?00V,代入数据得到 设U12??I1250?j325410?52.4300???4.7??67.26A 20?42.75?j75(j?L1?R1)(j?L2?R2)?(?M)86.33?119.69?(j?L1?R1?j?M)U2?(j?L2?R2?j?M)U10150?j75167.7?26.57??I???1.94??93.120A220?42.75?j7586.33?119.69(j?L1?R1)(j?L2?R2)?(?M)线圈1和线圈2所在支路吸收的复功率分别为
S1?U1I1*?(j?L1?R1)I12?j?MI2I1*?(3?j7.5)?4.72?6j?1.94??93.120?4.7?67.260?(66.27?j165.68)?(23.86?j49.23)V?A
*2*S2?U2I2?(j?L2?R2)I2?j?MI1I2?(5?j12.5)?1.942?6j?4.7??67.260?1.94?93.120?(18.82?j47.05)?(?23.86?j49.23)V?A 可以看出耦合互感复功率吸收的无功功率使得两个线圈自感吸收的无功增加了相同的值，这是互感M同向耦合作用的结果，耦合互感M从线圈1所在支路吸收了23.86W有功
?，这种对有功率传输给线圈2，被R2消耗了18.82W后仍有5.04W剩余，返回给电压源U2?发出，功功率过量吸收的现象称为“过冲”。清晰可见有功功率从左边电源U供给了R1和R21?吸收。耦合电感在这个过程中起到了能量的转换和传递消耗仍有剩余传输给了右边电源U2作用。
变压器正是基于耦合电感传递能量的电磁特性研制并广泛应用的。
§5.4 变压器的基本原理
变压器就是一种基于电磁互感应原理，借助耦合电感由一个电路向另一个电路传输能量
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或信号，同时变换电压，电流和阻抗的器件，是耦合电感应用于工程实际的典型实例。在电器设备和无线电路中，变压器常用作升降电压、匹配阻抗和安全隔离等，这将在其他专业课程中专门阐述，这里仅对电路原理进行简要的介绍。
本章研究的变压器是由两个耦合线圈围绕在一个公共的芯子上制成的。其中，一个线圈做为输入端口，接入电源后形成回路，称为一次回路（原边或初级回路）；另一个线圈做为输出端口，接入负载后形成回路称为二次回路（副边或次级回路）。
5.4.1空心变压器
不含铁心（或磁芯）的变压器称为空心变压器，是线性电感电路，耦合系数较小，多用在无线电技术和某些测量设备中，可以用一般含有互感电路的分析方法来计算，其电路模型如图5-16所示。
?I1?I212++?DCU1R1R2RL?U2-j?L1j?L2jXL-1?2?j?M
图5-16空心变压器电路模型
在正弦稳态条件下，有
??j?MI??U? (5-21) (R1?j?L1)I121??j?MI??0 (5-22) (R2?j?L2?RL?jXL)I21令Z11?R1?j?L1，称为一次回路阻抗，Z22?R2?j?L2?RL?jXL，称为二次回路阻抗，ZM?j?M 称为互阻抗，由上面方程(5-21)和(5-22)可求得
??I1???UUU11??1 (5-23) 22Z11?ZMY22Z11?(?M)Y22Zi???ZMY11U?j?MY11U11? (5-24) I2??22Z22?ZMY11Z22?(?M)Y11式中Zi?Z11?(?M)2Y22，称为一次等效回路输入阻抗，令Z1'?(?M)2Y22为副边对原边的引入阻抗（反映阻抗），是二次回路由于互感作用对一次回路产生的影响用一个等效参数来表示，即反映阻抗可简化计算，表现了一次回路与二次回路之间由于互感作用实现复功率传递的平衡关系。令Z2?(?M)Y11为原边对副边的反映阻抗，是一次回路由于互感
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'2作用对二次回路产生的影响，性质与Z22相反，即感性（容性）变为容性（感性）。
根据式(5-23)可以得到一次回路等效电路图,如图5-17（a）；同理，根据式(5-24)可以得到二次回路等效电路图, 如图5-17（b）。
?ZI1111+-1???IZ222+?U1?Z1+-?j?MY11U1?U2-RLj?L2R2jXL2?
(a) 一次侧等效电路 (b) 二次侧等效电路
图5-17 空心变压器的解耦等效电路
??0,此含源端口在2?2?的开路电压U??j?MYU?令I2oc111，戴维宁等效阻抗
Zeq?R2?j?L2?(?M)2Y11。
例5-8 电路如图5-17所示，已知R1?R2?0,L1?5H,L2?3.2H,M?4H,
u1?100cos(10t)V,ZL?RL?jXL?10?。试求变压器的耦合因数k和一次侧、二次侧
电流i1和i2。
解：变压器的耦合因数k为
k?二次侧的等效电路
ML1L2?1
???U??j?MYU??，Z?(?M)2Y?j?L?0 UU22oc111?0.81eq112则二次侧的电流为
?UOC?? I2????0.08U1Zeq?ZL一次侧的电流为
??I1?U1??0.067???17.35° ?(0.064?0.02j)UU112Z11?(?M)Y22时域形式表示为
i1?6.7cos(10t?17.35?)A i2??8cos(10t)A
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5.4.2理想变压器
理想变压器是根据铁心变压器的电气特性抽象出来的磁耦合元件，它的图形符号如图5-18所示 。
图5-18理想变压器电路
它的两个互感线圈也称作绕组，与电源相接的线圈称为原边（初级）或原绕组，与负载相连的线圈称为副线圈、副绕组或副边。原副绕组在共同的铁心上彼此绝缘，故负载与电源无电的连接，铁心变压器的性能在《电机拖动》课程中将详细分析，这里使之理想化成为理想变压器，所得结果与实际情况相接近。 一、理想变压器的伏安特性
根据理想变压器的模型图5-18中所示参考方向和同名端有：
u1(t)?nu2(t) (5-25)
1 i1(t)??i2(t) (5-26)
nN其中，N1为理想变压器初级绕组的匝数，N2为次级绕组的匝数，n?1称为匝数比，
N2即理想变压器的变比。
若u1，u2参考方向的“十”极性端都与同名端相连，则u1?nu2，若“十”极性端分别与异名端相连，则u1??nu2。对电流而言，若i1，i2参考方向分别从同名端同时流入(或同时流出)时，则i1??则i1?1i2。若i1，i2的参考方向分别从异名端同时流人(或同时流出)时，n1i2。 n式(5-25)和式（5-26）表明，电压与电流经过理想变压器只是在数值上按比例地进行变化而不会出现时间上的超前滞后；理想变压器的特性只通过一个参数n来表征，也就是通过
n表征原边与副边之间的电压和电流的变化关系，以及后面将讲到的阻抗的变化关系。
在如图5-18所示电路中，在任何瞬间，理想变压器吸收的功率为
p?p1?p2?u1(t)i1(t)?u2(t)i2(t)?u1(t)i1(t)?u1(t)[?ni1(t)]?0 (5-27) n式（5-27）表明，理想变压器任意时刻吸收的总功率为零，因此，理想变压器是一个即
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不耗能，也不贮能的无源元件，它把原边输入的功率全部传递到副边的负载。在传输的过程中仅仅将电压、电流按变比作数值变换。
在正弦稳态交流电路中，理想变压器伏安关系的相量形式为
??nU? (5-28) U12???1I? (5-29) I12n 例5-9 理想变压器的电流方向和同名端如图5-19所示，试分别写出电压与电流关系式。
i1+i2++i1i2+i1+i2u1-u2-u1-u2-u1-u2n:1n:1n:1(a) (b) (c)
图5-19例5-9图
11解：对图5-19(a) u1?nu2 i1??(?i2)?i2
nn11对图5-19 (b) u1??nu2 i1??(?i2)?i2
nn1对图5-19 (c) u1??nu2 i1?i2
n二、理想变压器的实现
理想变压器应满足以下三个理想化条件：
（1）变压器本身不能消耗能量，即导线的电阻为零，及无铁芯损耗（铁芯无涡流损耗及磁滞损耗）。
（2）耦合系数k=1，即没有漏磁。 （3）线圈的自感和互感为无穷大，但仍保持NL1?n，n?1。
N2L2理想变压器只有满足上述三个理想化条件才能使得式（5-25）和式（5-26）成立。 证明一：当满足三个理想化条件时式（5-25）成立。
当k?1时即全耦合，有两个线圈上的总磁通即自感磁通与互感磁通之和相等，即
?1??11??22，?2??22??21
而?11??21，?22??12，因此有?1??2。
设原边线圈共N1匝，副边线圈共N2匝，则交链两个线圈的磁通链分别为
?1?N1?1 ?2?N2?2
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-+
第十章含有耦合电感的电路
