电感元件的电路问题，重点是把握这类多端元件的特征。耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其他耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的电路。
分析含耦合电感的电路一般常用的方法有列方程分析和等效电路分析两类。考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性：
(1)耦合电感上的电压与电流关系（VCR）式的形式与同名端位置有关，与其上电压和电流参考方向有关，这是正确列写方程及正确进行解耦等效的关键。
(2)由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时，如不做解耦等效，则多采用支路电流法，不可直接应用节点电压法。
(3)采用受控源模型解耦不受电路结构条件限制，是一种普遍适用的解耦方法，且对解耦后的无耦电路，可采用等效变换法，支路法，回路法，节点法等各种分析方法求解电路响应。
(4)采用等效参数法或互感消去法解耦时，需要满足特定的电路结构条件。
(5)应用戴维宁定理（或诺顿定理）分析时，等效内阻抗应按含受控源电路的内阻抗求解法，但负载与有源二端网络内部有耦合电感存在时，戴维宁定理（或诺顿定理）不便使用。
例5-3 电路如图5-11（a）所示，若电源频率及元件参数均已知，试列写求取支路电流Ic2的方程。
II+R1ML1C1C2L2+R1C1C2UI1I2Ic2
UIL1L1L2IL3+j?MI+j?MI12IL2Ic2
I1I2(a) (b)
图5-11 例5-3图
解：（1）应用等效受控源法，等效解耦电路如图(b)所示，有
(R1?j?L1)IL1?j?L1IL2?U?j?MI2
(j?L1?j?L2?(1)IL2?j?L1IL1?j?L2IL3?j?MI2?j?MI1 j?C11?j?L2)IL3?j?L2IL2?j?MI1 j?C2I1?IL1?IL2 I2?IL2?IL3
联立上述方程可求得回路电流IL3,支路电流Ic2?IL3。
例5-4 电路如图5-12(a)所示，已知?L1??L2?10?，?M?5?，R1?R2?6?，
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U1?6V，求端口的戴维宁等效电路及最大传输功率。
R1L1ML2U1+I1R2U21+a+Uabb-
(a)
?I1+R1j?L1- +?j?MI1a+R1L1?ML2?MIa+?U1-R2?UOC-bIL1
MR2IL2Ub-
(b) (c)
图5-12 例5-4图
??6?00V 解：（1）采用受控源等效法，将电路等效为图5-12（b），设U1U166?00I1????0.38??39.80A 0R1?R2?j?L112?j1015.6?39.8UOC?I1R2?j?MI1?(6?5j)?0.38??39.80?7.8?39.80?0.38??39.80?2.96V
（2） 采用互感消去法，将电路等效为图5-12（c）,直接应用阻抗串并联求等效阻抗。
Zeq?[(R1?j?L1?j?M)R1?j?M]?j?L2?j?M?(6?j10?j5)(6?j5)?j10?j5?(3?j7.5)?最大功率传输：当ZL?Zeq?(3?7.5j)?
*
Pmax2Uoc8.8???0.73W 4Req12例5-5 求如图5-13(a)所示电路中的网孔电流。
4?100?0V?j3??j8?j2????I1?j6?I2?5?
图5-13 例5-5图 (a)
解：方法一 分别对两个网孔列写回路电压方程
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在网孔1内，取自感抗为j6的线圈的自感电压相量与电流I1为关联参考方向，支路电流I1?I2从 “.” 端流入该线圈，电流I2从异名端流入自感为j8的线圈，根据KVL，有
?100?(4?j3)I1?j6(I1?I2)?j2I2?2
??????整理，得
(4?j3)I1?j8I2?100
??在网孔2内，取自感抗为j8的线圈的自感电压相量与电流I2为关联参考方向，电流I2和支路电流I1?I2分别从异名端流入线圈，根据KVL，有
(5?j8)I2?j6(I2?I1)?j2I2?j2(I2?I1)?0
????????整理，得
?j8I1?(5?j18)I2?0
??联立求解得
I1?20.3?3.5A I2?8.693?19A
方法二 互感消去法，画出等效电路如图5-13(b)所示，其中一对耦合电感是异侧相连。
4?100?0V???j3???j2?j10???I1j8?I2?5?
图5-13 例5-5图 (b)
列网孔方程为
(4?j5)I1?j8(I1?I2)?100 j8(I2?I1)?(5?j10)I2?0
??????整理，得
(4?j3)I1?j8I2?100 ?j8I1?(5?j18)I2?0
????可见，利用互感消去法可以使分析变得简便。
例5-6 电路如图5-14（a）所示,已知R1?3?，R2?5?，?L1?7.5?，?L2?12.5?，
?。 ?M?6?，U?50V，试求开关K打开及闭合时电流I
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I++IM+IL1?MMj?L1R1j?L1R1R1Uj?L2R2Uj?L2KUL2?M?MI1I2
R2R2I1I2
(a) (b) (c)
图5-14 例5-6图
解：（1）当开关K打开时，耦合电感为顺接串联，设U?50?0。
U5050???1.52??75.96A I?R1?R2?j?(L1?L2?2M)8?j(12.5?7.5?6)8?j26（2）当开关K闭合时，如图5-14（b）所示。
(R1?j?L1)I?j?MI1?U
j?MI?(R2?j?L2)I1?0
代入数据联立得到
??5?12.5jI??13.46?68.2I??2.24?158.20I?A I1110?6j6??90代入(3?7.5j)I?j6I1?50
解得：I1?3.52?150.55A I?7.88??51.25A 同样可以采用互感消去法，等效电路5-14图(c)所示。
I[j?(L1?M)?R1]?I1[j?(L2?M)?R2]?U
I1[j?(L2?M)?R2]??j?MI2
I1?I2?I
0可见当I?0，则I1?0若原电路中L1与L2间不存在互感耦合，则K闭合后I1必为0，而这里其值不为零说明有电磁能从耦合电感L1一边传输到L2一边。 根据图5-14所示参考方向，电路方程为
R1i?L1didi?M1?u dtdt 14
M瞬时吸收的功率为
didi?R2i1?L21?0 dtdtR1i2?iL1didi?iM1?ui dtdti1M其中iMdidi?R2i12?i1L21?0 dtdtdi1di和i1M分别是线圈1中和线圈2中的一对通过互感电压耦合的功率（吸dtdt收）。通过它们实现耦合电感线圈间电磁能的转换和传输。
现讨论正弦稳态下的电能通过互感转换和传输状态。
开关闭合时两个线圈所在支路的复功率分别为S1和S2，计算如下
S1?U1I*?UI*?[(R1?j?L1)I?j?MI1]I*?(R1?j?L1)I2?j?MI1I* S2?U2I1*?[j?MI?(R2?j?L2)I1]I1*?j?MII1*?(R2?j?L2)I12?0
?I?* 虚部同号，实部异号，这说明耦合复?I?和j?MI其中互感电压耦合的复功率j?MI11*功率中的有功功率是大小相等且相互异号的，即有功功率从一个端口进入必须从另一个端口输出，是互感非耗能特性的体现；虚部同号说明耦合复功率中的无功功率是相同的，也就是说互感电压在两个线圈中产生的无功功率对自感电压在两线圈中产生的无功功率的影响、性质是相同的，这是耦合电感本身的电磁特性确定的。需要特别指出的是互感M在储能特性上不仅可能呈现电感效应也有可能呈现电容效应，当同向耦合时呈现电感效应，反向耦合时呈现电容效应，与自感储存的磁能进行互补。
??U?其有效值为50V,R?3?，R?5?，例5-7 电路如图5-15所示，已知电压源U1212?L1?7.5?，?L2?12.5?，?M?6?，分别计算线圈所在支路的复功率。
?I21?I1j?M2+-?U1+-j?L1j?L2R2R1?U21?图5-15 例5-7图
2?
解：根据图5-15所示电压与电流关系方程为
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第十章含有耦合电感的电路
