第2章 静电场(二)
2.1 静电场的唯一性定理及其应用
静电场中的待求量：电场强度E，静电力F。 静电场求解方法：
(1) 直接由电场强度公式计算；
(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E。
?2???????E?????E
唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。
2.1.1 唯一性定理
静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。
2.1.2 导体边界时，边界条件的分类
(1) 自然边界条件：
参考点limr??有限值
r??(相当于指定电位参考点的值)
????(2) 边界衔接条件：?1??2 ?11??22??
?n?n(该条件主要用于求解区域内部)
(3) 导体表面边界条件
(a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。
该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。
??????，(注：n的正方向由介质导向导体内部)
?nS??1(??)dS?q 1??rS(c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。
思考？
为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。
2.1.3 静电场唯一性定理的意义
唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据
2.1.4 等位面法
1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。
2 等位面法成立的理论解释：
等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化：
(1)边界k的等位性不变；
(2)边界k内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件)
3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用
现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。 解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。
现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。 解释：(注意边界正方向的取向)
边界S2为等位面；
边界S2上的总电荷量不变。
2.2 平行双电轴法
1 问题的提出：
以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。
导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。 2. 两根细导线产生的电场
设 电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q。 电场分布为平面场，根据叠加原理，
Q?????1??d???ln?1?C1 ?2??ln?2?C2
P2???2??02??00???P??1??2?ln2?C2??0?1
说明：式中Q表示电位参考点。ρ表示由电荷到P点的矢径。 以y轴为参考点, C=0, 则
(x?b)2?y2?2???P?ln?ln
222??0?12??0(x?b)?y*确定等位线方程： 令：?P?常数 (x?b)2?y22?K(x?b)2?y2K2?122bK 等位线方程为圆： (x?2b)?y2?(2)2
K?1K?1??2bKK2?1圆心的坐标： ?h(?2b),0? 圆的半径为：a?2
K?1K?1??当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。 a、h、b三者之间的关系满足:
2bK2K2?12222a?b?(2)?b?(2b)?h2
K?1K?1
应该注意到: 线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即 a2?h2?b2?(h?b)(h?b)
-- a为等位线的半径；2b两电轴间的距离；h为等位圆圆心到坐标原点的距离。 附： 〖反演〗
没C为一定圆，O为圆心，r 为半径，对于平面上任一点M，有一点M’与它对应，使得满足下列两个条件： (1)O、M、M’共线； (2)OM·OM’=r2；
则点M’称为点M关于定圆C的反演点，C称为反演圆，O称为反演中心，r称为反演半径。 M和M’的关系是对称的，M也是M’的反演点。M与M’的对应称为关于定圆C的反演。 r C O M’ M
*确定电力线方程：
dyEy根据 E????及E线的微分方程为 ?dxExKK得E线方程为 x?(y?1)2?b2?1
24说明：电力线方程表明， E线为圆，其圆心位于y轴上。K1的不同取值确定不同的电力线。
3 电轴法的基本思想
由三个思考题，引出电轴法的解题思想。
(1)若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？ (2)、感应电荷是否均匀分布？
(3)、若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
22
得出电轴法的思想：
电轴法：用置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法，称为电轴法。
电轴法解题的过程：
(1)根据圆柱导体的半径a和两导体间的距离2h求出等效电轴的位置b；(2)设电轴上电荷线密度等于圆柱导体上单位长度的电荷量；(3)由电场计算公式
(x?b)2?y2?2???P?ln?ln(0电位参考点位于y轴)
222??0?12??0(x?b)?y
4 例题
例1．试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。
解：(1)建立体系，取0电位参考点
(2)确定电轴的位置，b?h2?a2 (3)计算电场和电位分布：
?11?E?(e??P2π???1?e?2)?012 ??????ln2p?2π?0?1?
例2 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。
?b2?h12?a12?222?b?h2?a2解：?
d?h1?h2?确定b,h1,h2
例3 试确定图示偏心电缆的电轴位置 解：
?h12?a12?b2??222?b,h1,h2 ?h2?a2?b?h?h?d??21
例4 已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为U0 ，试求圆柱导体间电位的分布。 解：
1 确定电轴的位置 ?b2?h2?a2d22 →b?()?a ?22?d?2h2 设电轴上电荷密度为±τ，任一点的电位为：
??ln2 2??0?1注意：式中的ρ2，ρ1分别为负电轴和正电轴到观察点P的距3 由U0??A??B解出?:
??U0?离。
?b?(h?a)?b?(h?a)U0?ln?ln? → 2??0b?(h?a)2??0b?(h?a)2??02lnb?(h?a)b?(h?a)4 场中任一点的电位为：
?P?
U0?ln2
b?(h?a)?12lnb?(h?a)
工程电磁场第二章静电场
