第四讲 导数及其应用
题号 答案 一、选择题
12
1．函数y＝x－ln x的单调递减区间为( )
2
A．(－1，1] B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
121
解析：∵y＝x－ln x，∴y′＝x－，由y′≤0，解得－1≤x≤1，又x＞0，∴0＜x≤1.
2x故选B.
答案：B
2．设P为曲线C：y＝x＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
2
1 2 3 4 5 6 7 ?0，π?，则点P横坐标的取值范围为( )
?4???
1??A.?－1，－? B．[－1，0]
2??
?1?C．[0，1] D.?，1?
?2?
解析：设P(x0，y0)， ∵y′＝2x＋2，
∴曲线C在点P处的切线斜率为2x0＋2.
?π?又切线倾斜角范围是?0，?，
4??
∴斜率范围是[0，1]．
1??即2x0＋2∈[0，1]，∴x0∈?－1，－?.
2??答案：A
1
12
3．若f(x)＝－x＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是( )
2A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
－x－2x＋b－（x＋1）＋b＋1
解析：∵f′(x)＝＝.
x＋2x＋2则由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0. ∴b≤－1. 答案：C
4．(2014·湖南卷)若0＜x1＜x2＜1，则( ) A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1 B．ex1－ex2＜ln x2－ln x1 C．x2ex1＞x1ex2 D．x2ex1＜x1ex2
e1x
解析：设函数f(x)＝e－ln x且g(x)＝，对函数求导可得f′(x)＝e－，g′(x)
xx
x
x
2
2
（x－1）e
＝，因为x∈(0，1)，所以f′(x)符号不确定且g′(x)＜0，所以函数f(x)单调2
x
ex1ex2
＞x1x2
x
性不确定，函数g(x)在(0，1)上单调递减，则g(x1)＞g(x2) ＞x1ex2，所以选项C是正确的．故选C.
答案：C
x2ex1
a2232
5．(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax－x＋与y＝ax－2ax＋x＋
2a(a∈R)的图象不可能的是( )
2
解析：当a＝0时，两函数图象为D所示，当a≠0时，对函数y＝ax－2ax＋x＋a，令11a1222
y′＝3ax－4ax＋1＝0得：x＝或x＝，y＝ax－x＋的对称轴为x＝.当a＜0时，由
a3a22a111111
＜＜知B不对，当a＞0时，由＞＞知A，C正确． a2a3aa2a3a
答案：B
6．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，π?π?当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π) 且x≠时，?x－?f′(x)＞0，则函数y
2?2?＝f(x)－sin x在[－2π，2π] 上的零点个数为( )
A．2个 B．4个 C．5个 D．8个
π?π?解析：由当x∈(0，π) 且x≠时 ，?x－?f′(x)＞0，
2?2?
23
2
?π??π?知x∈?0，?时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；x∈?，π?时，f′(x)＞0，f(x)为增
2???2?
函数．
又x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sin x和y＝f(x)草图(如下图)，由图知y＝f(x)－sin x在[－2π，2π] 上的零点个数为4个．
3
答案：B
?3?7．函数y＝f(x)在定义域?－，3? 内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为?2?
y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )
1??48??1??A.?－，1?∪[2，3) B.?－1，?∪?，? 2??33??3??1??14??31??3
C.?－，?∪[1，2] D.?－，－?∪?，?
3??23??22??2 答案：A
4
二、填空题
8．已知2≤
(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为__________________．
?2?答案：?，2? ?3?
9．曲线y＝x＋3x＋6x－1的切线中，斜率最小的切线方程为______________________．
解析：y′＝3x＋6x＋6＝3(x＋1)＋3≥3.当x＝－1时，y′min＝3；当x＝－1时，y＝－5.∴切线方程为y＋5＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0.
答案：3x－y－2＝0
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2x＋ax与g(x)＝bx＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有相同的切线．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间，并指出函数F(x)在该区间上的单调性．
解析：(1)因为函数f(x)＝2x＋ax与g(x)＝bx＋c的图象都过点P(2，0)，
??2×2＋2a＝0，所以?得a＝－8，4b＋c＝0.
?4b＋c＝0.?
3
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2
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2
2
2
3
2
故f(x)＝2x－8x，f′(x)＝6x－8.
又当x＝2时，f′(x)＝16，又g′(x)＝2bx， 所以2b×2＝16，得b＝4，c＝－16. 所以a＝－8，b＝4，c＝－16. (2)因为F(x)＝2x＋4x－8x－16， 所以F′(x)＝6x＋8x－8. 2由F′(x)＞0，得x＜－2或x＞；
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高考数学二轮复习（考点梳理+热点突破）第四讲 导数及其应用检测试题(1)
