高中数学2-2-2-3教版选修知识点总结人
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数学选修 2-2 导数及其应用知识点
y x
f x
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1
x2
x1
x) x
1．函数的平均变化率是什么？
答：平均变化率为
f (x1 )
注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数 y
f ( x) 在 x x0
处的瞬时变化率是
lim
y
x 0 x
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
，则称函数 y f (x) 在点 x 0 处
可 导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 y
f ' (x0 ) = lim
x 0
f ( x) 在 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ' ( x 0 )
或 y' |x x0 ， 即
y x
lim f ( x0
x
0
x) f ( x0 ) . x
3. 平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4 导数的背景是什么？
答：（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；（ 3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分
y c
n
*
y ' 0
n 1
————————
x
n
dx
xn 1 n 1
y x y a x
n N
y ' nx y ' ax ln a
a 0, a 1
axdx ax
ln a
y ex
y ' ex y ' y '
exdx ex
y log a x
1
a 0, a
y
1, x 0
x ln a 1
x cos x sin x
————————
ln x
1
x
dx ln x
y sin x y ' y '
cosxdx sin x sin xdx
y cos x cos x
6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若 f x ， g x 均可导（可积），则有：
'
和差的导数运算
f (x) g( x)
'
f ' ( x) g ' (x) f ' (x)g( x)
f (x)g ' ( x)
积的导数运算
f (x) g (x)
特别地： Cf x
f ( x) g (x)
'
' Cf ' x
'
商的导数运算
f ( x) g(x) f ( x) g (x)
(g ( x) 0) 2
g ( x) 1 g x
'
'
特别地：
yx yu ux
g '( x) g2 x
复合函数的导数
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b a
微积分基本定理
f x dx
b a
b a
（其中 F ' x
b
a
f x ）
[ f1(x)
f 2 ( x)]dx
b
f1( x)dx
b
f2 (x)dx
和差的积分运算
kf (x)dx k
c
f x
f ()dx特别地： a
b
f x
为常数 )
a
积分的区间可加性
( ) dx
( )d x
b
f x dx
a c b
( )
(其中a
a c
)
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？
答：①求函数 f(x)的导数 f '(x)
②令 f '(x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 .
③令 f '(x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；
注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么？
答： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数 f '(x)
(3)求方程 f '( x) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格，检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？
答：求 f ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求 f ( x) 在 a, b 上的极值；
f(x)在这个根处无极值
⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 近似代替 求和 取极限 （ “以直代曲 ”的思想）
10.定积分的性质有哪些？
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx
b a b a
b a
a
b
性质 5 若 f (x)
0, x
a, b ，则 f2 (x)
c1 a
f ( x) dx 0
a
b a
①推广：
[ f1 (x)
fm ( x)]dx
c2 c1
f1( x) dxf2 (x)dx
a
b ck
b b a
fm (x)
②推广 :
f ( x)dx
f ( x)dx
f (x)dx f ( x) dx
11 定积分的取值情况有哪几种？
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是
0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（ 2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；
（ 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识有哪些？
答：（ 1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
（ 2）力的积分为功。
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