第28届全国中学生物理竞赛决赛试题
一、（15分）在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A、B两点，导轨直径AB=2R，AB与竖直方向间的夹角为60°，在导轨上套一质量为m的光滑小圆环，一劲度系数为k的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A、B两点，
C C' 图28决—1 A O θ 60° B D 如图28决—1所示。当圆环位于A点正下方C点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从C点无初速度释放，圆环在时刻t运动到C'点，C'O与半径OB的夹角为θ，重力加速度为g.试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）θ=90°（2）θ=30°
二、（15分）如图28决—2所示，在水平地面上有一质量为M、长度为L的小车，车内两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l1和l2，劲度系数分别为k1和k2；两弹簧的另一端分别放
k1 m1 图28决—2
L m2 k2 着一质量为m1、m2的小球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时，小车移动力距离l3.试求开始时弹簧1的长度l和后来弹簧2所达到的最大压缩量Δl2.
三、（20分）某空间站A绕地球作圆周运动，轨道半径为
转移轨道 B rA=6.73×106m.一人造地球卫星B在同一轨道平面内作圆周
地球 A 运动，轨道半径为rB=3rA/2，A和B均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫
图28决—3
星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图28决—3所示。已知地球半径为Re=6.38×106m，地球表面重力加速度为g=9.80m/s2.试求：
（1）飞船离开空间站A进入椭圆转移轨道所必须的速度增量ΔvA，若飞船在远地点恰好与卫星B相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量ΔvB. （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站A至少需要绕地球转过的角度。
四、（15分）摩尔质量为μ的某种理想气体，从左向右流过一内壁光滑的长直水平绝热导管，导管内横截面的面积为S，一摩尔绝对温度为T的该气体的内能为5RT/2，式中R为普适气体常量。
（1）将一加热装置固定放置在管得中部，以恒定功率W给气体加热，如图28决—4（a）所示。假设该装置对气流的阻力可以忽略，当气流稳定后，管中气体虽然在加热装置附近的状态不均匀，但随着与加热装置距离的增加而逐渐趋于均匀。在加热装置左边均匀稳流区域中，气体的压强为P0，温度为T0，向右流动的速度为v0.已知加热装置右边均匀稳流区域中气体的压强为P1，试求该区域气体的温度T1.
（2）现将管中的加热装置换成一多空塞，如图28决—4（b）所示。在气流稳定后，多孔塞左边气体的温度和压强分别为T0和P0，向右流动的速度为v0；多孔塞右边气体的压强为P2（P2 v0 P0,T0 加热装置P1 图28决—4 v0 P0,T0 多孔塞P2 （a） （b） 五、（15分）如图28决—5所示，一个三棱镜ABC的顶角α小于90°.假设光线在纸面内以任意入射角入射到AB面上的D点，经一次折射后，又入射到AC面上，且能在AC面上发生全反射。 B D A α C 图28决—5 已知光线在AC面上发生全反射的临界角为Θ（Θ<45°），AC边足够长。试求下列两种情形下分别求三棱镜顶角α的取值范围： （1）如果光线仅从AB面上法线的下方入射； （2）如果光线仅从AB面上法线的上方入射。 六、（20分）一电荷量为q的点电荷产生的电场在距离它为r处的电场强度的大小为E?keqr2，式中ke为常量；一条长直导线中通有电流i时，它产生的磁场在与 m导线相距为r（远小于长直导线的长度）处的磁感应强度的大小为B?kkm也为常量。 上述两常量比值的平方根kekm2ir，式中 可用如图28决—6所示的实验装置，通过低频 （约几百赫兹）的电场和磁场来测定。图中A、B表示水平放置的、电容为C1的平行板电容器的极板，极板为正方形，边长为a1（极板间距远小于a1）。极板B固定，极板A悬挂在天平臂一端的挂钩上，M、N为两根水平放置的平行长直金属细杆，长度均为a2，两杆间的距离为h（h< 其中f表示交流电的频率。各部分通过导线如图链接。已知在电键K打开时，天平已调节至平衡。接通电源后，天平将失去平衡。通过调节交流电源的频率，可使天平重新达到平衡（注意：天平具有惯性，实际上是交流电的平均效果使天平平衡），试求kekmA B a1 C1 u K 图28决—6 MNC2 a2 h 的表达式。【图中的双线可视为刚性绝缘杆，单线视为导线， 曲线表示柔软无质量的导线。不考虑电场、磁场的边缘效应。不考虑导线磁场对M和N的影响。】
第28届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案
