高中数学课时分层作业22同角三角函数的基本关系含解
析北师大版必修41022444
课时分层作业(二十二) 同角三角函数的基本关系
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( ) sin αA．tan α＝－
cos αC．sin α＝－1－cosα
2
B．cos α＝－1－sinα cos αD．tan α＝
sin α2B [由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确．]
sin θ＋cos θ2．已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
sin θ－cos θ3A． 43C． 10
3B．±
103D．－
10
C [由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)＝4(sin θ－cos θ)， 3
解得sin θcos θ＝.]
10
3．若sin θ＋sinθ＝1，则cosθ＋cosθ＋cosθ的值等于( ) A．0 C．－1
2
2
2
2
6
8
2
2
B．1 D.
2
5－1
2
B [因为sin θ＋sinθ＝1，sinθ＋cosθ＝1， 所以sin θ＝cosθ，
所以原式＝sin θ＋sinθ＋sinθ ＝sin θ＋sinθ(sin θ＋sinθ) ＝sin θ＋sinθ ＝1.]
1
4．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A的值为( )
3
- 1 -
22
2
3
4
2
A．
15 3
B．－
15 3
5C． 35D．－
3
1
A [因为sin Acos A＝＞0，所以A为锐角，所以sin A＋cos A＝1＋2sin Acos A＝
32151＋＝.] 33
5．已知α是第三象限角，化简A．tan α C．－2tan α C [原式＝－＝＝
?1＋sin α?
?1－sin α??1＋sin α?
221＋sin α －1－sin α1－sin α得( )
1＋sin αB．－tan α D．2tan α
?1－sin α?
?1＋sin α??1－sin α??1＋sin α?
－2
cosα2
?1－sin α?
2
cosα2
1＋sin α1－sin α－. |cos α||cos α|
因为α是第三象限角，所以cos α<0， 1＋sin α1－sin α所以原式＝－＝－2tan α.]
－cos α－cos α二、填空题
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝________. 3
[∵a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b， 4
∴3cos α－4sin α＝0. 3
∴tan α＝.] 4
1722
7．已知tan α，是关于x的方程x－kx＋k－3＝0的两个实根，且3π<α<π，
tan α2则cos α＋sin α＝________.
1712
－2 [∵tan α·＝k－3＝1，∴k＝±2，而3π<α<π，则tan α＋＝
tan α2tan αk＝2，得tan α＝1，则sin α＝cos α＝－
2
，∴cos α＋sin α＝－2.] 2
- 1 -
8．已知sin αcos α＝1
5，则sin α－cos α＝________.
±
155
[(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2
α ＝1－2sin αcos α＝3
5.
则sin α－cos α＝±155
.] 三、解答题
9．已知sin θ＋cos θ＝－
105. 求：(1)11
sin θ＋cos θ的值；
(2)tan θ的值．
[解] (1)因为sin θ＋cos θ＝－105
， 所以1＋2sin θcos θ＝25，sin θcos θ＝－3
10. 所以11sin θ＋cos sin θ＋cos θ＝θsin θcos θ＝210
3.
2
2
(2)由(1)得sinθ＋cosθ10sin θcos θ＝－3，
2
所以tanθ＋110
tan θ＝－3，
即3tan2θ＋10tan θ＋3＝0， 所以tan θ＝－3或tan θ＝－13
.
3
10．若cos α＝－35且tan α>0，求tan α·cosα1－sin α的值．
sin α3
[解] tan α·cosαcos α·cos3
α1－sin α＝1－sin α
22
＝sin α·cosαsin α?1－sin1－sin α＝α?
1－sin α
＝
sin α?1－sin α??1＋sin α?
1－sin α
＝sin α(1＋sin α)．
∵tan α＝sin α3
cos α>0，cos α＝－5
<0，
- 1 -
∴sin α<0.又sinα＋cosα＝1， 42
∴sin α＝－1－cosα＝－，
5∴原式＝sin α(1＋sin α) 4?4?4＝－·?1－?＝－.
5?5?25
[等级过关练]
22
1．函数y＝54－sin2
x－3cos x的最小值是( )
A．－74
B．－2 C．14
D．－5
4
A [y＝54－(1－cos2
x)－3cos x
＝cos2
x－3cos x＋14
＝???
cos x－32??2?－2， 当cos x＝1时，y?37min＝??1－2??2
?－2＝－4.] 2．使
1－cos α1＋cos α＝cos α－1
sin α成立的角α的范围是( )
A．2kπ－π<α<2kπ(k∈Z) B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z) C．2kπ＋π<α<2kπ＋3π
2(k∈Z)
D．只能是第三或第四象限角 A [∵
1－cos α?1－cos α?21＋cos α＝
sin2
α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1
sin α，∴sin α<0.∴2kπ－π<α<2kπ(k∈Z)．]
3．在△ABC中，2sin A＝3cos A，则角A＝________. π
3
[由题意知cos A>0，即A为锐角． 将2sin A＝3cos A两边平方得2sin2
A＝3cos A. ∴2cos2
A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝1
2
或cos A＝－2(舍去)，
- 1 -
π∴A＝.]
3
3π?π???4．若tan α＝2，且α∈??π，2??，则sin??α＋2??＝________. －
55 [∵tan α＝sin αcos α＝2， ∴sin α＝2cos α， 又∵sin2
α＋cos2
α＝1， ∴cos2
α＝15.
∵α∈??3π?π，2???， ∴cos α＝－
55
. ∴sin???α＋π2??5?＝cos α＝－5.] 5．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝1
5.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值．
[解] (1)由sin A＋cos A＝1
5，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝1
25，
所以sin A·cos A＝－12
25
.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－12
25＜0.
又0 所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形． (3)因为sin A·cos A＝－12 25 ， 所以(sin A－cos A)2 ＝1－2sin A·cos A＝1＋244925＝25，又sin A＞0，cos A＜0，所以sin A－cos A＞0， 所以sin A－cos A＝7 5 . - 1 -
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