第2节 等差数列及其前n项和
考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
?Sn?
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列??也为等差数列.
?n?
*
*
*
*
a＋b2. n（n－1）dn（a1＋an）2＝2. [微点提醒]
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列?Sn＝An＋Bn(A，B为常数).
1
2
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋an＋2.( ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A.31
B.32
C.33
D.34
*
??a1＋5d＝2，
解析 由已知可得?
?5a1＋10d＝30，?
26
a＝，??38×7解得?∴S＝8a＋d＝32.
24
??d＝－3，
1
8
1
答案 B
3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案 180
4.(2024·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A.－12
B.－10
C.10
D.12
3解析 设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，
2∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B
5.(2024·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的
2
公差为( ) A.－3
5B.－
2
C.－2
D.－4
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
????a2＝1，
因为?所以? 5×4
?S＝－15，5a＋d＝－15，5??1
?
2
解得d＝－4. 答案 D
6.(2024·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S9<0，则S1，S2，…，S9中最小的是______.
解析 在等差数列{an}中， ∵a3＋a8>0，S9<0，
9（a1＋a9）∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝＝9a5<0，
2∴a5<0，a6>0，
∴S1，S2，…，S9中最小的是S5. 答案 S5
考点一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，
a1＋d＝1，
S6＝48，则{an}的公差为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
(2)(2024·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( ) A.9
B.10
C.11
D.15
解析 (1)法一 设等差数列{an}的公差为d， （a1＋3d）＋（a1＋4d）＝24，??
依题意得?所以d＝4. 6×5
6a1＋d＝48，?2?法二 等差数列{an}中，S6＝
（a1＋a6）×6
＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
2
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，则d＝4.
3
(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意得
11×（11－1）???S11＝11a1＋d＝22，?a1＝－33，2解得? ?
?d＝7，???a4＝a1＋3d＝－12，
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10. 答案 (1)C (2)B
规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log318 D.log324
(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________. 解析 (1)∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列， ∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，
∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)，则2x(4x＋2)＝9x， 解之得x＝4，x＝0(舍去).
∴等差数列的前三项为log38，log312，log318， 3
∴公差d＝log312－log38＝log3，
2
3
∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3.
2(2)法一 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S3＝6，S4＝12，可得?
?S3＝3a1＋3d＝6，?
?a1＝0，?
解得?
??S＝4a＋6d＝12，d＝2，1?4?
2
2
所以S6＝6a1＋15d＝30.
法二 由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An＋Bn， 由S3＝6，S4＝12可得?
??S3＝9A＋3B＝6，
2
??S4＝16A＋4B＝12，
??A＝1，2
解得?即Sn＝n－n，则S6＝36－6＝30.
?B＝－1，?
答案 (1)A (2)30
4
考点二 等差数列的判定与证明 典例迁移
1
【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
2
?1?
(1)求证：??成等差数列；
?Sn?
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 11
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
SnSn－1
11
又＝＝2，
S1a1
?1?
故??是首项为2，公差为2的等差数列. ?Sn?
11
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝. Sn2n当n≥2时，
11n－1－n1
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
2n2（n－1）2n（n－1）2n（n－1）1
当n＝1时，a1＝不适合上式.
21??2，n＝1，故a＝?
1
??－2n（n－1），n≥2.
n【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由. 解 因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0， 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2). 11所以－＝2(n≥2).
SnSn－1
11
又＝＝2，
S1a1
?1?
所以??是以2为首项，2为公差的等差数列.
?Sn?
11所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
Sn2n11－1所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
2n2（n－1）2n（n－1）所以an＋1＝
1?－1－1－1－1?1－，又an＋1－an＝－＝??＝
2n（n＋1）2n（n＋1）2n（n－1）2n?n＋1n－1?
1
. n（n－1）（n＋1）
5
2024版高考数学大一轮复习-第2节等差数列及其前n项和讲义(理)(含解析)新人教A版
