《导数的综合应用—证明不等式》
考查内容：主要涉及利用导数证明不等式 注意：涉及到复合函数求导问题一般为理科内容
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知0x1A．
x21，则（ ）
lnx1lnx2? x2x1B．
lnx1lnx2? x2x1C．x2lnx1?x1lnx2 2．当
xD．x2lnx1?x1lnx2
时，有不等式 （ ）
A．e?1?x B．e?1?x
C．当x?0时e?1?x，当x?0时e?1?x D．当x?0时e?1?x，当x?0时e?1?x
3．已知非零实数a，x，y满足loga2?1x?loga2?1y?0，则下列关系式恒成立的是（ ）
xxxxx11?A．2 x?1y2?1B．x?y?yyx? xy?1??1?C．?
?a?1?????a?1??????xD．yx?xy
4．已知函数f?x?=lnx?1?ax有两个零点x1,x2，且x1?x2，则下列结论错误的是（ ） A．0?a?1 C．x1?x2?1
2 a1D．x2?x1??1
aB．x1?x2?
5．已知0?a?b?1，则下列不等式一定成立的是（ ）
lna?1 C．alna?blnb D．aa?bb lnblnx6．当0?x?1时，f?x??，则下列大小关系正确的是（ ）
xA．
B．
A．f2ab? lnalnb?x??fx2?f?x?
??B．fx???f?x??f?x?
22- 1 -
C．f?x??fx7．若a????f?x?
22D．fx???f?x??f?x?
22ln2ln3ln6，b?，c?，则（ ） 236B．c?b?a
C．c?a?b
D．b?a?c
A．a?b?c
8．下列不等式中正确的是( )
??). ①sinx?x,x?(0,??)；②e?x?1,x?R；③lnx?x,x?(0，A．①③
B．①②③
C．②
D．①②
x9．若x??0,???,则下列不等式恒成立的是 ( ) A．e?1?x?x C．cosx?1?x21112?1?x?x B．24x?1D．ln?1?x??x?12x 212x 810．若0?m?n?e，则下列不等式成立的是（ ）
emenA．?
mnemenB．?
mnC．
2lnnlnm ?nmD．
lnnlnm ?nm11．设a为常数，函数f?x??x?lnx?1??ax，给出以下结论： （1）若a?e?2，则f?x?存在唯一零点 （2）若a?1，则f?x??0
（3）若f?x?有两个极值点x1,x2，则其中正确结论的个数是（ ） A．3
B．2
C．1
D．0
lnx1?lnx21?
x1?x2e12．已知函数f(x)??1 21C．f?x0??x0?
2A．f?x0??x0?二．填空题
xlnx在x?x0处取得最大值，则下列选项正确的是（ ） 1?x1B．f?x0??x0?
21D．?f?x0??x0
2x413．若0 12ex2?ex1?lnx2?lnx1；③x3ex2?x2ex3；④x2ex?x1ex14．已知函数 ，当 ；其中正确的有___ 时，给出下列几个结论： - 2 - ①②③④当 时， ; ； ； ． 其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）． 15．若0?a?b?1，e为自然数?e?2.71828?，则下列不等式：①ba?1?ab?1； ②ea?eb?lna?lnb；③loga?a?1??logb?b?1?，其中一定成立的序号是___ 16．已知函数f(x)?xlnx?x2，且x0是函数f(x)的极值点．给出以下几个命题： ①0?x0?11；②x0?；③f(x0)?x0?0；④f(x0)?x0?0 ee其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号） 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式: （1）sinx?x?tanx，x??0, 18．已知函数f(x)?x2?2lnx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x?2时，f(x)?3x?4. 19．已知函数f?x??????（2）ex?x?1，x?0. ?；2?alnxb?曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程为x?1xx?2y?3?0. （1）求a,b的值； （2）证明：当x?0且x?1时，f?x?? - 3 - lnx. x?120．已知函数f(x)＝ln(x+1)－x． ⑴求函数f(x)的单调递减区间； ⑵若x??1，证明：1? 21．已知函数f?x??ln1?ln(x?1)?x． x?11?ax2?x(a?0). x（1）若f?x?是定义域上的单调函数，求a的取值范围； （2）若f?x?在定义域上有两个极值点x1,x2，证明：f?x1??f?x2??3?2ln2. 22．已知函数f(x)?ex?alnx(a?R) （1）当a?1时，求曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程； x?（2）设x0是f(x)的导函数f(x)的零点，若?e?a??，求证：f?x0??e0. 23．已知函数f?x??x?1?lnx. x（1）判断函数f?x?的单调性； （2）若f?x?满足f??x1??f??x2??x1?x2?，证明：f?x1??f?x2??3?2ln2. - 4 - 《导数的综合应用—证明不等式》解析 1.【解析】设f?x??xlnx，则f'?x??lnx?1，由f'?x??0，得x?1，所以函e1?1??1?数f?x?在?,???上单调递增；由f'?x??0，得0?x?，函数f?x?在?0,??e?e?e?上单调递减，故函数f?x?在?0,1?上不单调，所以f?x1?与f?x2?的大小无法确定，从而排除A，B；设g?x??lnx1?lnx，则g'?x??，由g'?x??0，得0?x?e，2xx即函数f?x?在?0,e?上单调递增，故函数f?x?在?0,1?上单调递增，所以 g?x1??g?x2?，即 lnx1lnx2?，所以x2lnx1?x1lnx2.故选：D x1x2xx2.【解析】对于函数f?x??e?x?1其导数f??x??e?1，当x?0时f??x??0，当x?0时，f??x??0 ?f?x?min?f?0??0?当 时f?x??0?e?1?x x3.【解析】依题意非零实数a，x，y满足loga2?1x?loga2?1y?0， 2则a?0,a?1?1，所以0?x?y?1.不妨设x?11,y?， 421614161616,??,?22175201720，所以A选项错误； 则?1??1????1???14???2??3yx15535x?y?,??2???,?，所以B选项错误； 4xy224441由于0?1?1，根据指数函数的性质可知：?1???1?， ?a?1?a?1????a?1??????1412xyxy所以C选项错误.依题意0?x?y?1，要证明y?x，只需证明lny?lnx， 即证xlny?ylnx，即证 lnylnxlnx?，构造函数f?x???0?x?1?，yxxf'?x??1?lnx1?lnx'fx??0在区间，由于，所以，所以0?x?1lnx?0??22xxlnylnxxy?，所以y?x.故Dyx?0,1?上恒成立，所以f?x?区间?0,1?上递增，所以 - 5 -
2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--证明不等式(含解析)
