第二章 2.2 第1课时
A组·素养自测
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( D ) 4
A．a＋≥4
aa＋b
C．ab≥ 2
B．a2＋b2≥4ab 3
D．x2＋2≥23 x
4
[解析] a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b
aa＋b
＝16，则ab<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2
1
2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为( B )
x－2yA．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号 D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号
[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．
3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( D ) A．10 C．5
B．25 D．210 [解析] a＋b≥2ab＝210，等号在a＝b＝10时成立，故选D． 4．已知0 33C． 4 1B． 22D． 3 11931 [解析] 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号． 334425．设0 A． 2C．2ab B．b D．a2＋b2 名校名师整理材料 助同学们一臂之力 - 1 - [解析] ∵ab a＋b?211 ，∴ab<，∴2ab<. 42?2?a2＋b2a＋b >>0，a＋b＝1， 22a2＋b211 >，∴a2＋b2>. 222 ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2 ＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大． a＋b2ab 6．已知a>0，b>0，A＝，B＝ab，C＝，则A，B，C的大小关系为( D ) 2a＋bA．A≤B≤C C．B≤C≤A B．A≤C≤B D．C≤B≤A 2ab2ab [解析] 由基本不等式可知，A≥B，≤＝ab，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故 a＋b2ab选D． 二、填空题 7．若a<1，则a＋ 11与－1的大小关系是__a＋≤－1__. a－1a－1[解析] 因为a<1，即a－1<0， 11 所以－?a－1＋a－1?＝(1－a)＋≥2 ??1－a1 时取等号)．即a＋≤－1. a－1 8．已知a>b>c，则?a－b??b－c?与[解析] 因为a>b>c， 所以a－b>0，b－c>0. ?a－b??b－c?≤ a－b＋b－ca－c ＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所22 a－ca－c的大小关系是__?a－b??b－c?≤__. 2211 ?1－a?·＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0 1－a1－a a－c 以?a－b??b－c?≤. 2 x2＋x＋3 9．设x>0，则的最小值为__23－1__. x＋1[解析] 由x>0，可得x＋1>1. x2＋x＋3?t－1?2＋t－1＋33 令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2 ttx＋11，当且仅当t＝3，即x＝3－1时，等号成立． 三、解答题 名校名师整理材料 助同学们一臂之力 - 1 - 3t·－1＝23－t 1 10．当x取什么值时，x2＋2取得最小值？最小值是多少？ x1 [解析] x2＋2≥2 x 11 x2·2＝2，当且仅当x2＝2，即x＝±1时等号成立． xx 1 ∴x＝1或－1时，x2＋2取得最小值，最小值为2. x xy2xy 11．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2) yxx＋yxy [证明] (1)∵x>0，y>0，∴>0，>0， yxxy ∴＋≥2yx xyxy·＝2，∴＋≥2. yxyx xy 由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”． yxxy∴＋>2. yx 2xy (2)∵x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2xy，∴<1， x＋y∴∴ 2xy·xy B组·素养提升 一、选择题 1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为( B ) 24 A． 528C． 5 [解析] ∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0， 1313133x12y133x12y∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋≥＋2··＝5， 5y5x5y5x55y5x55y5x3x12y 当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号， 5y5x ∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B． 2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( B ) A． 2 3 22B． 3B．2 D．5 名校名师整理材料 助同学们一臂之力 - 1 - C． 3 323D． 3 11 [解析] 由x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)． 3x2x1 因为x>0，所以x＋y＝＋≥2 33x22等号成立)．故x＋y的最小值为. 3 3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( ABC ) A．ab<1 a2＋b2 C．ab< 2[解析] ∵ab≤?又∵ a＋b?2 ?2?，a≠b，∴ab<1， a2＋b2 B．1< 2a2＋b2D． 22x1·＝233x 2222x12＝(当且仅当＝，即x＝时，9333x2 a2＋b2a＋b >，a＋b＝2， 22 a2＋b2a2＋b2 ∴>1，∴ab<1<. 22 4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A．当x>0时，x＋ 1 ≥2 x 1 B．当x>2时，x＋的最小值是2 x 51 C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5 44x－5xy D．当x>0，y>0时，＋≥2 yx [解析] 在A中，当x>0时，x>0，x＋1 在B中，当x>2时，x＋≥2 x 1 ≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；x 1x·＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋x 151的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－(5x44x－5－4x＋ 1 )＋3≤－2×5－4x 11 ?5－4x?·＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号， 5－4x5－4x 结论错误；显然D正确，故选AD． 二、填空题 15．已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是____. 12名校名师整理材料 助同学们一臂之力 - 1 - [解析] ∵x＋3y≥23xy， 1 ∴23xy≤1，即xy≤， 12 111 等号成立的条件为x＝3y＝，即x＝，y＝. 226 a 6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__. xa [解析] ∵a>0，且2x＋≥2 x最小值， ∴ 2a ＝3，解得a＝18. 2 aa2aa2x·＝22a，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得xx2x 21 7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为__8＋43__. ab 2121?4b3a ＋(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋212＝8＋43，当且[解析] ∵3a＋2b＝1，∴＋＝?ab?ab?ab3－33－1 仅当a＝，b＝时取到最小值． 64 三、解答题 8．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明： 1(1)ab＋bc＋ac≤； 3a2b2c2 (2)＋＋≥1. bca [证明] 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 1 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. 3a2b2c2 (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， bca a2b2c2 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)， bcaa2b2c2 即＋＋≥a＋b＋c. bca a2b2c2 又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1. bca a2b2 9．已知实数a，b满足a>0，b>0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最 a＋1b＋1 名校名师整理材料 助同学们一臂之力 - 1 -
2019新人教A版高中数学 必修第一册课时同步课时作业 2.2 第1课时 基本不等式 Word版含解析
