2014年中考数学复习第十三讲 反比例函数
【基础知识回顾】
一、反比例函数的概念： 一般地：形如y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数 【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0，2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0），3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于 】 二、反比例函数的同象和性质：
[来源:K]k 1、反比例函数y=
x（k≠0）的同象是 它有两个分支，关于 对称
k 2、反比例函数y=
x（k≠0）当k>0时它的同象位于 象限，在每一个象限内y随x
的增大而 当k<0时，它的同象位于 象限，在每一个象限内，y随x的增大而
k【名师提醒：1、在反比例函数y=
x中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，
但永不与x轴y轴
2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k的几何意义： 反曲线
ky=x（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线 → 两线与坐标轴围成的形面
积 ，即如图： AOBP= S△AOP=
【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】 三、反比例函数解析式的确定 因为反比例函数
ky=x（k≠0）中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只
需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 四、反比例函数的应用
解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 【重点考点例析】
考点一：反比例函数的同象和性质
例1 （2012?张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y?ax 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．
解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=y?当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=y?a
过一、三象限； x
a过二、四象限；故选C． x点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．
2例2 在平面直角坐标系中，反比例函数y?a?a?2 图象的两个分支分别在（ ）
xA．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
2
思路分析：把a-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答． 解：a-a+2=a-a+
2
2
1112112
-+2=（a-）+7 4 ，∵（a-）2≥0，∴（a-）+7 4 ＞0， 44222∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．故选A．
2
点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数y?
k
（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比x
6的图象上，则y1，y2，x例函数图象在第二、四象限内．
例3 （2012?台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y?y3的大小关系是（ ）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数y?6x中k=6＞0，∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵-1＜0，∴点（-1，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵0＜2＜3，∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，
∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．故选D． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键． 对应训练
1．一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数y?m的图象在同一平面直角坐标系中是（ ） xA． B． C． D．
2．（2012?内江）函数y?1?x的图象在（ ） x2的图象上，且0＜x1＜x2，xA．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 3．（2012?佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数y?则y1与y2的大小关系是y1 y2． 考点二：反比例函数解析式的确定
例4 （2012?哈尔滨）如果反比例函数y?k?1的图象经过点（-1，-2），则k的值是（ ）
xA．2 B．-2 C．-3 D．3
思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值． 解：根据题意，得-2=
k?1，即2=k-1，解得k=3．故选D． ?1点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 对应训练
4．（2012?广元）已知关于x的方程（x+1）（x-b）+=2有唯一的实数解，且反比例函数y?2
2
1?bx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ） A．y??3122 B．y? C．y? D．y?? xxxx4
上，点B在双曲线 x
考点三：反比例函数k的几何意义 例5 （2012?铁岭）如图，点A在双曲线y?
y?k（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为 xD、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6
思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线y?所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值． 解：∵双曲线y?4上，xk（k≠0）上在第一象限，∴k＞0， x4上，∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k， xk图象中任取一点，x延长线段BA，交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AE⊥y轴，∴四边形AEOD是矩形， ∵点A在双曲线y?∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，∴k=12．故选A．
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数y?过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 对应训练
5．（2012?株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y?2?1,y?的图象分别交于 xxB、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（ ） A．3 B．
33t C． D．不能确定
22考点四：反比例函数与一次函数的综合运用
例6 （2012?岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2?2的图象交于A、Bx两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D， 连接AO、BO，下列说法正确的是（ ）
A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2
C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可 判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式 求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．
?y?x?1①2?解：A、?，∵把①代入②得：x+1=，解得：x1=-2，x2=1， 2xy?②?x?代入①得y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误 B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=
11×1×2=1，S△BOD=×|-2|22×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C． 点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目． 对应训练
6．（2012?达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=
m(m≠0)，在同一直角坐标x系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1 C．x＞1 D．-2＜x＜1
【聚焦中考】1．（2012?青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
都是反比例函数y??3的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） xA．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 2．（2012?菏泽）反比例函数y?
2
的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成x
521a2
；③y=x+8x-2；④y=2；⑤y=；⑥y=x2xxx立的是（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定 3．（2012?滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=?中，y是x的反比例函数的有 （填序号）。
4．（2012?济宁）如图，是反比例函数y?k?2的图象的一个分支，对于给出的下列说法： x①常数k的取值范围是k＞2； ②另一个分支在第三象限； ③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2； ④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2； 其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）
4题图 6题图 7题图 5．（2012?潍坊）点P在反比例函数y?k（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于yx轴对称，则反比例函数的解析式为 ． 6．（2012?聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y?k（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图x中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ． 7．（2012?泰安）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y?m的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB
x的面积为1．
（1）求一次函数与反比例的解析式； （2）直接写出当x＜0时，kx+b-m＞0的解集．
x备考过关 一、选择题 1．）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2012?孝感）若正比例函数y=-2x与反比例函数y?k图象的一个交点坐标为（-1，2），x3交于点A（x1，y1），B（x2，y2）x则另一个交点的坐标为（ ）A．（2，-1） B．（1，-2） C．（-2，-1） D．（-2，1） 3．（2012?恩施州）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y?两点，则x1y2+x2y1的值为（ ） A．-6 B．-9 C．0 D．9 4．（2012?常德）对于函数y?6，下列说法错误的是（ ） xA．它的图象分布在一、三象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大 D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小 5．（2012?淮安）已知反比例函数y?m?1的图象如图所示，则实数m的取值范围是（ ）
xA．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0
2013年中考数学专题复习第13讲(30-13)：反比例函数--学生版
