新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性
质与不等式性质教师用书新人教A版必修第一册
2．1 等式性质与不等式性质
考点 不等关系的表示 数(式)大小比较 不等式的性质 学习目标 会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 会运用作差法比较两个数或式的大小 掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题 核心素养 数学建模 逻辑推理 逻辑推理
问题导学
预习教材P37－P42，并思考以下问题： 1．如何比较两个实数的大小？ 2．等式的基本性质有哪些？ 3．不等式的基本性质有哪些？
1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a (2)符号表示 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a ■名师点拨 符号“?”叫做等价号，读作“等价于”，“p?q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 2．常用的不等式的基本性质 性质1 a>b?b 性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c； 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac 性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d； 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； 性质7 如果a>b>0，那么a>b(n∈N，n≥2)． ■名师点拨 对不等式性质的五点说明 (1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识． (2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”． (3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( ) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( ) (3)若a 某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是( ) A．x＋y>120 C．x＋y≥120 答案：C 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A．ad＞bc C．a－c＞b－d B．ac＞bd D．a＋c＞b＋d B．x＋y<120 D．x＋y≤120 nn解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D一定成立． 若x<1，M＝x＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________． 解析：M－N＝x＋x－4x＋2＝x－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N. 答案：M>N 2 2 2 用不等式(组)表示不等关系 (1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后 平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 【解】 (1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 故填72＋12x＞408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0 2 x?30－x? 这时菜园的另一条边长为＝?15－?(m)． 2?2? 因此菜园面积S＝x?15－?， 2??依题意有S≥110，即x?15－?≥110， 2??故该题中的不等关系可用不等式表示为 0 ??x? 15－x?≥110.?2???? 1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边15－≤11，所以x≥8，又0 22．本例(2)中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？ 解：函数S＝x?15－?的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13，14， 2??15，16，17时S≥110. 利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． ? x? ? x? x? x?
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