三角函数式的化简与求值
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三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列
一、高考考点
以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查： 1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。 二、知识要点
（一）三角函数坐标定义的推论
1、三角函数值的符号 2、特殊角的三角函数值 3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）
（1）课本中的公式：
（2）同角公式“全家福” ①平方关系： .
②商数关系： . ③倒数关系： 4、 诱导公式：
（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
① k·360°＋ （k∈Z），－ ，180°± ，360°－ （共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值，等于 的同名函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号；
② 90°± ，270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值，等于 的相应余函数值，前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。 （2）诱导公式的引申 ； ；
.
（二）两角和与差的三角函数
1、两角和的三角函数 两角差的三角函数
令 ＝
2、倍角公式 ；
＝ ＝ ；
3、倍角公式的推论
推论1（降幂公式）： ； ； .
推论2（万能公式）： ； .
推论3（半角公式）： ； ； .
其中根号的符号由 所在的象限决定. 三、经典例题 例1、填空：
（1）已知 的取值范围为
（2）已知 的取值范围为 分析： （1）从已知条件分析与转化入手 ① 又②
∴由①、②得 ， ∴应填
（2）首先致力于左右两边的靠拢：
左边＝① 右边＝ ② ∴由左边＝右边得 ，
∴应填
点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得
，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训. 例2.化简或求值： （1） （2） 分析： （1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外 ，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果. 解：（1）原式＝
（2） 解法一（利用关于正切的倍角公式）： 注意到 ∴
∴原式＝ ＝＝ ＝ ＝cot20°
解法二（利用掌握的典型关系式）： 注意到 （证明从略） ∴原式＝ ＝
＝ ＝cot20°
点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键. 例3.（1）已知 ，
求 的值； （2）已知
分析： 对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；
对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入， 以准确已知的延伸方向.
解： （1）由已知得 ∴
注意到
∴由已知得 （至此，目标的变形方向明确） 于是有 原式＝
＝
（2）由已知得原式＝ ＝ ＝ ① （至此寻求的目标明确） 又∵
∴
∴ ② 于是②代入①得，原式＝ .
点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性. 例4. （1）已知 （2）已知
（3）已知
（4）已知
分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 解：（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式： （和差与倍半的综合关系） ∴ ＝ ① ∵ ∴ ∴ ② ③
∴将②③代入①得
（2）注意到这里有关各角的关系式： （和差与倍半的综合关系） ∴ ＝
①
∵ ∴
∴ 又②
∴③
∴将②③代入①得 于是有 .
（3）注意到这里有关各角之间的关系式
∴
∴ ① ∵ ∴ 又② ∴③
∴将②③代入①得 ， 故得
（4） 解法一（从寻找两角 与 的联系切入）： 由已知得：①
∵ ∴② ③
此时注意到 在 内单调递增.
∴由①②③得 ∴ 于是得 .
解法二（从已知式的化简切入）
由已知得 ④
∵ ∴ ∴由④得⑤ 于是再由 及⑤得 .
点评： 对于（1）（2），侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系； 对于（3），侧重特殊角来建立有关各角的关系式； 对于（4），既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值 未知三角函数值；又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值 有关角的量值 未知三角函数值 例5、 (1)设 （2）设
分析：（1）注意到未知式的复杂，考虑从化简和认知目标切入，以明确已知条件的延伸方向：
原式＝ ，故解题从求 突破.
（2）在分析与变形目标中发现上，下面两式的联系： 原式＝ ，故解题从求 突破.
解： （1）原式＝ ① ∵ ∴ ∴由 得 ∴ ②
∴ ③ ④
于是将②③④代入①得
原式＝
（2）原式＝ ⑤ ∵
∴
∴由 得 ∴⑥ 又注意到⑦
∴将⑥⑦代入⑤得，原式＝
点评：（1）（2）两题的条件与目标相似，此时解题可谓“仁者见仁，智者见智”，不同的关注点，引出不同的切入点和突破口. 例6、 （1）已知 ，
且
（2）已知 （3）已知
分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决. 对于（1）着眼于目标 ，
故从求 切入；
对于（2）着眼于目标 ，
故从求 切入与突破；
对于（3），由已知导出 的函数值，方向不明，此时注意到 ，故转而考虑从寻觅 的方程与求解入手. 解：
高中数学教案三角函数式的化简与求值
