线性规划中的逆向思维问题分类解析
线性规划问题中的逆向思维问题是指：已知目标函数在某点取得最值，求解约束条件中或目标函数中的参数问题；或者是已知平面区域而探求约束条件.下面举例分析. 一、求解在约束条件下目标函数中参数的问题
? 1≤x＋y≤4例1 已知变量x，y满足约束条件?，若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)
? －2≤x－y≤2
仅在点(3，1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.
分析：要解答此题要明确三点：一是作出平面区域，并确定点A(3，1)是直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点；二是必须明确－a才是目标函数对应的直线的斜率；三是分析－a与约束条件中的不等式对应的直线的斜率之间的关系.
? 1≤x＋y≤4
解：在坐标系中画出变量x，y满足约束条件?的可行域，如图为四边形
? －2≤x－y≤2
ABCD，其中A(3，1)，kAD＝1，kAB＝－1，
由目标函数z＝ax＋y（其中a＞0）得y＝－ax＋z，则z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点A(3，1)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z应在直线x＋y＝4与直线x＝3之间，直线斜率应小于kAB＝－1，即－a＜－1，所以a的取值范围为(1，＋∞).
点评：此类题型的特点是：含有参数的目标函数对应的直线的斜率是变化的，约束条件中不等式对应的直线斜率是常值.解答时要根据目标函数取最值的情况，分析目标函数对应的直线与线性约束条件下的对应的直线的斜率之间的大小关系，建立不等式，从而使问题得解.
二、求约束条件中的参数问题
?? x≥0
例2 当x，y满足约束条件? y≤x(k为常数)，能使z＝x＋3y的最大值为12
?? 2x＋y＋k≤0
的k的值为_____.
分析：先根据条件分析出含参不等式对应直线的大致位置，进而确定目标函数在哪个点取得最大值，问题就可以顺利作答.
解：要使z取得最大值，直线2x＋y＋k＝0与直线y＝x的交点B必在第一象限，平面
1
区域为如图阴影部分所示的△ABO，直线x＋3y＝0的斜率为－，直线2x＋y＋k＝0的斜率
3kkk
为－2，直线y＝x的斜率为1，故目标函数在B(－，－)点取得最大值12，所以－＋3×(－
333k
)＝12，解得k＝－9. 3
点评：由于此类题型的约束条件中的不等式含有参数，因此如何作出平面区域成为解答此题的关键，这就要根据目标函数的最值情况作全面分析，再根据各直线对应的斜率大小，确定直线目标函数取得最大值时需经过的点，进而建立方程，确定参数的值. 三、探求平面区域的约束条件
例3 由曲线x－y＝0与直线x＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
2
2
?? x－y≥0
(A)? x＋y≥0 ?? 0≤x≤3
x－y≤0
x＋y≥0 0≤x≤3
?? x－y≥0(B) ? x＋y≤0
?? 0≤x≤3?? x－y≤0
(C) ? x＋y≤0
?? 0≤x≤3??
(D) ?
??
分析：本题要从根据题设条件作出平面区域入手，然后确定各边界所在的直线方程，再确定其所对应的代数式的符号.
解：由曲线方程x－y＝0得x－y＝0或x＋y＝0，表示两个直线与直线x＝3围成一个三角形区域，如图所示，
在区域内取点A(1，0)，代入代数式：x－y、x＋y、x得x－y＝1≥0，x＋y＝1≥0，x
2
2
?? x－y≥0
＝1≤3，则该区域的约束条件为? x＋y≥0，故选A.
?? 0≤x≤3
点评：本题是一道逆向思维性题，其难点主要是确定各边界所在的直线方程Ax＋By＋C＝0对应的代数式Ax＋By＋C的符号，一般根据平面区域的一个特殊点的坐标代入Ax＋By＋C即可确定.另外要注意边界所在直线的虚实.
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划线性规划中的逆向思维问题分类解析素材北师大版必修
