第2章 圆锥曲线 2.1 直线与球的位置关系 2.2 平面与球的关系学
业分层测评 北师大版选修4-1
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1.正方体的表面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( ) A.πa 3
B.πa 2
C.πa D.2πa
2
【解析】 设正方体的棱长为x，则a＝6x，而球半径R＝πa＝. 2
【答案】 B
3
x，∴S球＝4πR2＝3πx22
2.把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为( )
1A.R 33C.
25R 5
3B.3R 3
D.
3R 3
【解析】 设较小球半径为r，则另一球半径为2r， 434433
∴πr＋π(2r)＝πR， 3333
133∴r＝R，∴r＝R.
93
3
【答案】 B
3.(全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，
BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
【导学号：96990046】
A.4π C.6π
B.D.
9π
232π
3
5
6＋8－10
【解析】 设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2.又2R≤3，
234?3?39
∴R≤，∴Vmax＝π??＝π.故选B.
23?2?2
【答案】 B
4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为( ) A.2∶3∶5 C.3∶5∶8
B.2∶3∶4 D.4∶6∶9
【解析】 设球的半径为1，则球的外切圆柱的底面半径为1，高为2；球的外切等边42
圆锥的底面半径为3，高为3，所以球的体积为V1＝π，圆柱的体积为V2＝π×1×2＝2π，
3142
圆锥的体积为V3＝×π(3)×3＝3π，所以V1∶V2∶V3＝π∶2π∶3π＝4∶6∶9.
33
【答案】 D
1
5.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小
6圆的周长为4π，那么球的半径为( )
A.43 C.2 【答案】 B 二、填空题
6.平面α与球O相交，交线圆圆心为O1，若OO1＝3，交线圆半径为4，则球O的半径为________.
【解析】 设球O的半径为R，由题意知R＝3＋4＝25，∴R＝5. 【答案】 5
7.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________. 【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)＝(3)＋(3)＋(3)＝9，
∴外接球的表面积为S＝4πR＝9π. 【答案】 9π
8.如图2-1-7所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________.
2
2
2
2
22
2
2
B.23 D.3
5
图2-1-7
【解析】 ∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，AC?平面ABC， ∴DA⊥BC，DA⊥AC. 又BC⊥AB，AB∩DA＝A， ∴BC⊥平面ABD， ∴BC⊥DB，
则DC的中点即为球心O. 又DA＝AB＝BC＝3， ∴AC＝6，DC＝3，
4?3?9π
∴球O的体积V球＝π??＝.
3?2?2【答案】
9π 2
3
三、解答题
9.已知半径为R的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离.
【解】 设四个球的球心分别为O1，O2，O3，O4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R，如图作O1H⊥面O2O3O4，垂足为H，则O1H为棱锥的高.
23连接O4H，则O4H＝R.
3∵△O1HO4为直角三角形， ∠O1HO4＝90°， 26
∴O1H＝R，
3
∴从上面一个球的球心到桌面的距离为?
?26?
＋1?R. ?3?
10.若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高. 【解】 如图，设正四面体边长为x，设球半径为R. ∴AH＝
3
x,4πR2＝36π. 3
5
∴R＝3，在Rt△AHS中，
SH2＝SA2－AH2，
∴SH＝x－?
2
2
?3?222
x?＝x， ?3?3
?? ?2?2?3?2
x－R?＋?x?＝9， 3??3?
∴x＝26
∴SH＝4，故正四面体的高为4.
能力提升]
1.半径为R的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为( )
A.R 1C.R 3【答案】 C
2.某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为2R，高为20R的圆柱形筐(有盖也有下底)，用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为( )
A.12 C.24
B.13 D.26 1B.R 22D.R 3
【解析】 设A，B为同一层球的球心，C，D为相邻一层的球心，这四个球心A，B，C，D的连线刚好构成一个正四面体，相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF(如图所示).
易求得EF＝2R，
20R－2R＝12.7. 2R共13个“间隔”，即共放了13层， ∴13×2＝26.
∴该筐最多可放篮球的个数为26. 【答案】 D
3.如图2-1-8所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，则容器内的水深是__________.
5
图2-1-8
【解析】 由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半143523
径为3r，容器内水的体积就是V＝V圆锥－V球＝π(3r)·3r－πr＝πr.
333
将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为1?3?2
此时容器内水的体积为V′＝π?h?·h
3?3?133
＝πh.由V＝V′，得h＝15r. 93
即铁球取出后水深为15r.
4.在球面上有四点P，A，B，C，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积和表面积.
【解】 由PA⊥PB可知P，A，B确定一个平面，设它与球O的交线为⊙O1，由于PA⊥PB，故AB是⊙O1的直径，且
3
h. 3
AB＝AP2＋BP2＝2a.
∵PC⊥PA，PC⊥PB， ∴PC⊥平面PAB. 又OO1⊥平面PAB， ∴OO1∥PC.
过OO1，PC作平面α交球面为大圆O，设⊙O与⊙O1的另一个交点为Q，则直线PQ是平面α与平面PAB的交线，点O1∈PQ，连接CQ，在⊙O中，
∵PC⊥PQ，∠CPQ为直角， ∴CQ为⊙O的直径.
设⊙O的半径为R，即球O的半径为R，在Rt△CPQ中，
CQ＝PC2＋PQ2
＝ a＋
2
2a2
＝3a，
∴2R＝3a， 即R＝
3a， 2
4π3333
∴V球＝(a)＝πa，
322
S球＝4π(
32
a)＝3πa2. 2
5
2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线 2.1 直
