专项突破三 析情境·数学应用
1.[2019郑州国际马拉松赛]“郑州银行杯”2019郑州国际马拉松赛于10月13日上午鸣枪开赛.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5时,则他平均每分的步数可能为 ( ) A.60 B.120 C.180 D.240
2.[中国高铁]2008年8月,我国第一条高速铁路——京津城际铁路开通运营.近年来,中国高铁成为中国铁路旅客运输的主渠道,中国高铁的安全可靠性和运输效率世界领先.图3 - 1是2013—2018年全国高铁旅客运输量及增速的统计图.则下面结论中不正确的是( )
图3 - 1
A.2016年旅客运输量增速超过14% B.旅客运输量增速最大的是2014年 C.2016—2018年旅客运输量减少
D.2016—2018年旅客运输量逐年增长
3.[垃圾分类]垃圾分类,一般指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.为响应国家号召,各地区采取多种措施推行此项活动.某商家设计了一种新式分类垃圾桶,它是长方体状,高为0.5米,长和宽之和为2.4米,现用铁皮制作该垃圾桶,要使得这个垃圾桶的容量最大(不考虑损耗),若不考虑桶盖,则需要耗费铁皮的面积为( ) A.2.4平方米 B.3平方米 C.3.84平方米 D.5.28平方米
4. [黄金三角形]17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一件是勾股定理,另一件是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,如图3 - 2所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,
图 3 - 2
在其中一个黄金三角形ABC中,A.
1-2√54
????????
=
√5-1
2
.根据这些信息,可得sin 234°=( ) D. -
4+√58
B. -
3+√58
C. -
√5+14
5.2019年3月10日,长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空.这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”.长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年,第二个“百发”用了不到8年,第三个“百发”用时仅4年多.已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12 000米/
????
秒.
6.[爱国主义教育活动]某学校开展爱国主义教育活动,要在6名男生和3名女生中选出5名学生参加关于庆祝新中国成立70周年阅兵式知识的初赛,要求每人回答一个问题,答对得2分,答错得0分.已知6名男生中有2人所有题目都不会答,只能得0分,其余4人可保证得2分;3名女生每人得2分的概率均为.现选择2名男生和3名女生,每人答一题,则所选队员得分之和为6分
32
的概率为 .
7.[2020洛阳市第一次联考]水车在古代是进行灌溉引水的工具,是中国古代劳动人民的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,图3 - 3是一个半径为R的水车的示意图,一个水斗从点A(3√3, - 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f (t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列叙述正确的
2π
是 .(填序号)
图 3 - 3
①R=6,ω=30,φ= - 6;
②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6; ③当t∈[10,25]时,函数y=f (t)单调递减;
ππ
④当t=20时,|PA|=6√3.
专项突破三 析情境·数学应用
1.C 2.5时=150分,42千米=42 000米,故该运动员每分的路程为若每分的步数为180,则其步幅为
28060
280180
42 000150
=280(米),由题意及选项知,
≈1.56(米),符合题意.若每分的步数为60,则其步幅为
≈4.67(米),不合题意,同理,当每分的步数分别为120,240时,也不合题意.故选C.
【素养落地】 试题侧重考查数据处理、运算求解能力及应用意识,提升了考生的逻辑推理、数据分析、数学抽象及数学运算等核心素养. 2.C 根据题图中的曲线,通过计算可得A,B正确;题图中的柱状图表示全国高铁旅客运输量,根据数据得C错误,D正确.故选C.
3.C 设长和宽分别为x米,y米,则该垃圾桶的体积V=0.5xy米3,而0.5xy≤0.5×(
??+??22
)=0.72,当且仅
当x=y=1.2时取等号,此时所需耗费铁皮的面积为1.2×1.2+0.5×1.2×4=3.84(米2),故选C. 【素养落地】 试题以生活中的垃圾分类为背景,考查空间几何体的表面积,侧重考查运算求解能力、空间想象能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养. 4.C 解法一 由题可知∠ACB=72°,且cos 72°=????=
1????2√5-1
4
,cos 144°=2cos272° - 1= -
√5+14
,则sin
234°=sin(144°+90°)=cos 144°= -
sin??
√5+14
.故选C.
????
sin36°
sin36°
解法二 由正弦定理得sin∠??????=????,即sin72°=2sin36°cos36°=234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= -
√5+14
√5-1
2
,得cos 36°=√=5-11√5+14
,则sin
.故选C.
解法三 如图D 3 - 1,取BC的中点为D,连接AD,
图D 3 - 1
由题意知∠BAC=36°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAD=18°,AD⊥BC,∵18°=C.
【素养落地】 试题考查三角函数求值,侧重考查推理论证能力、运算求解能力,考查了考生的逻辑推理、数学抽象等核心素养. 5.e6 - 1 ∵v=2 000·ln(1+),又火箭的最大速度可达12 000米/秒,∴12 000=2 000·ln(1+),可得
??
??
??
??
????????
=
√5-1
2
,∴sin∠CAD=
????????
=
????2????
,即sin
√5-1
4
,∴sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - (1 - 2sin218°)=2sin218° - 1=2×(
√5-12√5+1) - 1= - .故选
4
4
ln(1+??)=6,1+??=e6,解得??=e6 - 1.
【素养落地】 试题考查函数的应用,侧重考查运算求解能力、数据处理能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、数学运算等核心素养. 6.81 由题意知,得分之和为6分有以下三种情况:“男生得0分,女生得6分”,设为事件A;“男生得2分,女生得4分”,设为事件B;“男生得4分,女生得2分”,设为事件C.
33
P(A)=C2;P(B)=2×??3×()=3405
6
??????
28
C2
28
1
C12C4
C26
2112
×??3×(3)2×(3)1=135;P(C)=C42×??3×()×()=. 3345
6
2132
C2
214
故所选队员得分之和为6分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=
8405
+
321352π
+
445
=.
81
π
28
7.①②④ 由题意可知函数f (t)的最小正周期T=60,所以??=60,解得ω=30,又从点A(3√3, - 3)出发,所以R=6,6sin φ= - 3,又|φ|<2,所以φ= - 6,故①正确;y=6sin(30t - 6),当t∈[35,55]时,30t -
π
π
π
π
π
π
∈[π,3],则sin(30t - 6)∈[ - 1,0],y∈[ - 6,0],点P到x轴的距离为|y|,所以点P到x轴的距离的最6
5πππ
大值为6,故②正确;当t∈[10,25]时,30t - 6∈[6,3],所以函数y=6sin(30t - 6)在[10,25]上不单调,故③不正确;当t=20时,
π30
πππ2πππ
t -
π6
=,则 y=6sin
2
ππ2
=6,且x=6cos
π2
=0,所以P(0,6),则
|PA|=√(0-3√3)2+(-3-6)2=6√3,故④正确.综上,正确的是①②④.
2021届新高考版高考数学一轮复习训练：专项突破三 析情境·数学应用
