由数列的递推公式求通项公式
所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列． 等差数列 数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d 等比数列 数列{an}的后一项与前一项的比定义 an为常数q（q≠0） an?1q为公比 an=a1·qn1 －专有名词 d为公差 通项公式 an=a1+（n－1）d 前n项和 Sn=na1?n(n?1)d?a1?an?n a11?qn?Sn= 221?q??数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）． 有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an＋1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们能够求出其通项公式．
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题． 二 例题精讲
例1．（裂项求和）求Sn=
8?18?28?n????．
12?3232?52(2n?1)2?(2n?1)2解：因为an=
8?n11?= 2222(2n?1)?(2n?1)(2n?1)(2n?1)1?1所以Sn=?2?23?1
1??1???2?25??3??111?=1－ ???????222(2n?1)(2n?1)???(2n?1)例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1=
an3，an+1=，求{an}的通项公式．
2an?15解：
1an?1?2an?11??2 anan?1?156n?15∴??是以为首项，公差为2的等差数列，即 ?+2（n－1）=
an333?an?∴an=
练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn=
3 6n?1Sn?1，求{an}的通项公式．
2Sn?1?1解：
12Sn?1?11???2 SnSn?1Sn?1?1?∴??是以1为首项，公差为2的等差数列． ?Sn?∴
11=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=． Sn2n?1211=? ?(2n?1)(2n?3)2n?12n?3∴an=Sn－Sn－1=
?(n?1)?111∴an=?
?(n?2)??2n?12n?3
例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和
1?1??Sn=?，求{an}的通项公式． a?n?2?an??1?1??解：S1=a1=?a?1?，所以a1=1． 2?a1??∵an=Sn－Sn－1 ∴2Sn=Sn－Sn－1+
1
Sn?Sn?1∴Sn+Sn－1=
1，即Sn2－Sn－12=1
Sn?Sn?1∴Sn??是以1为首项，公差为1的等差数列．
2∴Sn2=n，即Sn=n
∴an=Sn－Sn－1=n－n?1（n≥2） ∴an=n－n?1．
例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－1n－1
）（n≥3），且S31=1，S2=－
2，求{an}的通项公式． 解：先考虑偶数项有：
S2n－S2n?1?2n?1－2=－3·??2??
2nSn?1?32?－2－S2n－4=－3·??2??
……
3S4－S2=－3·??1??2??
?3n??1?????1?1?1?将以上各式叠加得S?2??????2n－S2=－3×??4???1?1，
42n?1所以S2n=－2+??1??2??(n?1)．
再考虑奇数项有：
2nS－S2n?12n?＋1－1=3·??2??
?2n?2S－S?12n2n?－1－3=3·?2??
……
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广州地区高中竞赛+数列
