[第一章 函数极限与连续]第一章函数极限连续

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考点

一、求函数的定义域 第一章 函数极限与连续

函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。这类题一般有两种类型：

1、给定解析式的函数求定义域。 1 ? ≠0;

≥0; log a ? >0; π

arcsin ?tan ? ≠k π+；2 ??-1≤ ≤1; arccos ? cot ? ≠k π；

对于实际问题则需保证其具有符合题意的实际意义、 方法一：解不等式组法；方法二：取值验证法

2、含有符号f 抽象函数的定义域。

1）若已知f 的定义域为[a , b ], 求f ?????的定义域、

解法：令u =?, 由a ≤u ≤b ?a ≤? ≤b , 求出x 的取值范围、

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2）若已知f ?????的定义域为[a , b ], 求f 的定义域。

解法：由a ≤x ≤b ?? 的范围。

总之，这类题要求理解自变量的具体含义。即弄清“函数—中间变量--自变量”的关系。

例1

函数y =arcsin 2x3,4] C、 [-3,4) D、

?16-x2≥0 ?3≤x ≤4 解法一：?2x1≤≤1 ?3, x =4证均有意义, 应选B 、 例2

函数f = 1

的定义域为 ln x A 、 B、

[0,1)? ? D、 ? ?4-x2>0 ?0

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验

?x >0且x ≠1

解法二：因为负数不能取自然对数，所以 A 、C 是 错误的；

=0, 在分母上无意义，即B 也是错误的、 应选 D、

例3已知f 的定义域为[0,1], 则f 的定义域为 A、 [,1] B、 [-1,1] C、 [0,1]

D、 解：因为0≤x ≤1?0≤2x ≤2?-1≤2x1,1], 则1 2

的定义域为 -1,1-2, 0

A 、[-2,2] B 、 ]和g 的表达式, 求 f 的表达式、 方法一：换元法。 方法二：凑项法。

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e

x +1x +1 )

=2 , 则f = 、 x x x +11 =u 、 得x = 解法一：设 x u1 x +1x +11x +1x +1 )

=?= , 所以f =x 解法二：f =x +2, 则f =、 解法一：设x +1=u , 则x =u2u +3

所以f =6x +11 解法二：f =x +2=2 +3=x1]= 、 解：f1]=2 +5=4x +13 x , 则f [f ]= 、1-x x f x1 解：f [f ]=== 1-f1-x1-2x2 1-x 考点

三、函数的奇偶性与有界性判定 例4 已知f =

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1、函数的奇偶性判定方法 定义法：

f =f ，则f 为偶函数。f =-f ， 则f 为奇函数。 利用奇偶函数的运算性质

奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 若外层函数或内层函数只要有一个是偶函数，则复合函数一定是偶函数 奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称。

常见的奇函数：

y =sin x , y =tan x , y =arc sin x , y =arctan x , y =x2nf 是奇函数 例1

函数y =x x ) =-x x ) =x2n =x x ) =f

所以f 为偶函数。应选 A、

例２ 在区间[-1,1]上，设函数f 是偶函数，那么-f A 是奇函数 B 是偶函数

C 既不是奇函数也不是偶函数 D 不能被判定奇偶性 解：记g =-f ，则在[-1,1]上，有g =-f =-f =g ， 即-f 为偶函数，故选B 、

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