二次根式
1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做
a的算术平方根。
2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如｛X≥-2 X＜5 的解集为-2≤x＜5。 3、 分式有意义的条件：分母≠0 4、 绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0） 一、 二次根式的概念
一般地，我们把形如a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数
为2，即“ ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如5 可以写作5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，a ≥0。其中a≥0是a 有意
义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5） 形如ba （a≥0）的式子也是二次根式，b与a 是相乘的关系。要注意当b是分
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数时不能写成带分数，例如 2 可写成 ，但不能写成2 2 。
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练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）6 ； （2）-18 ； （3）x2+1 ； 13
（4）-8 ； （5）x2+2x+1 ； （6）3｜x｜ ； （7）1+2x （x＜- ）
2
10
22
二、当x取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x2+4x+1 二、二次根式的性质：
二次根式的性符号语言 文字语言 应用与拓展 注意 质 一个非负a （a≥0）的a ≥0 数的算术（1）二次根式的非负性（a ≥0，a （a≥0）的最性质 平方根是（a≥0） a≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 小值为0。 非负数。 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。 （2）具有非负性的性质：①a2≥0；②｜a｜≥0；③a ≥0（a≥0）。 （3）若a2+｜b｜+c =0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 一个非负逆用公式可以在实数2 2（a ）（a≥0）（a ）= a正用公式：（5 ）=5；（m+1 ）数的算术范围内分解因式，如的性质 （a≥0） 平方根的2=m2+1；逆用公式：若a≥0，则a=2a-5=a2-（5 ）2 平方等于11222（a）如：2=（2），=（） 22它本身。 =(a+5 )(a-5 ) 22 a 的性质 2一个数=a（a≥0）平方的或 术平方等于这2a =｜a｜= 数的绝- a（a＜0） 值。 a =｜a｜2的22（1）正用公式：（3-π) 化简形如a 的式算根=｜3-π｜=3-π （2）逆用子时，先转化为 个对公式：31 =31｜a｜形式，再根据3× =3 3a的符号去掉绝对2值号。 练习：计算（1）（
3
）2 (2) （43 ）2 (3) （-62) 5
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（4）- 12
（- ） （6）x2-2x+1 + x2-6x+9 （1≤x≤3）
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★（a ）2（a≥0）与a2 的区别与联系： 表示的意义不 同 取值范围不同 读法不同 （a ）2 表示非负数a的算术平方根的平方 a≥0 a为任意实数 a2 表示a2的算术平方根 区读作“根号a的平方”或“a读作“根号a2”或“a的平方的算术平方根的平方” 的算术平方根” 被开方数是a2 先平方后开方 别三、代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连s
接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，3x （x≥0），-ab， （t≠0，x3都是代数式
t注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等） （1） 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不
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被开方数不同 运算顺序不同 被开方数是a 先开放后平方 运算结果，运算（a ）2 =a，依据平方与开平依据算术平方根的定义得到 依据不同 作用不同 方互为逆运算得到 （a ）2 = a（a≥0），正向运用可a2 =｜a｜，正向运用可以将根号化简二次根式，逆向运用可以将任意内的非负因式取算术平方根移到根一个非负数写成一个数的平方的形号外，逆用运用可以将根号外的非式 负因式平方后移到根号内 联 系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是非负数；③a≥0时，（a ）2=a2
等式都是关系式。如2x+3＞3x-5是关系式。
x-2
练习：下列式子：①0；②π③2+x=4；④ ＞1；⑤2a+3b；⑥2-x (x≤2)，其中
2
3
是代数式的有（ ） 列代数式的常用方法：
（1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2） 公式法：根据公式列出代数式。
（3） 探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。练习：列代数式
（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（ ）
典型例题剖析
题型一：二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）x+5-3-2x； （2）2x-11-x； （3）x-3+3+x
题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。 题型三：二次根式非负性的简单应用
已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ 题型四：利用a2 =｜a｜并结合数轴化简求值 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2 题型五：a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用
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） ）
八年级下册数学--二次根式知识点整理
