v1.0 可编辑可修改 对数函数及其性质题型总结
1．对数函数的概念
(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的特征：
logax的系数：1??
特征?logax的底数：常数，且是不等于1的正实数
??logax的真数：仅是自变量x
判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．
比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．
【例1－1】函数f(x)＝(a－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________． (1)图象与性质
图 象 (1)定义域{x|x＞0} (2)值域{y|y?R} 性 (3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 质 (4)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 (5)在(0，＋∞)上是增函数 (4)当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 (5)在(0，＋∞)上是减函数 2
a＞1 0＜a＜1 性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0 性质（7）直线x＝1的右侧底大图低
谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的
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v1.0 可编辑可修改 关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．
题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．
例1、(1)y＝log5(1－x)； (2)y＝log(2x－1)(5x－4)；
(3)y?log0.5(4x?3)．
在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0． 题型二:对数值域问题
对数型函数的值域的求解
(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．
(2)对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围；
④利用y＝logau的单调性求解．
注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．
例2.求下列函数的值域.(1)f(x)?log2x, x?[2,10];
12变式1：若函数y?log(ax?ax?)的定义域为R，求3224(2)f(x)?log2(?x?2x?3),x?[0,];2
(3)f(x)?log2(x2?4x?5)
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v1.0 可编辑可修改 1 变式2：若函数y?log2(ax2?ax?)的值域为R，求实数a的取值范围。4变式3：若函数f?x??logax?0?a?1?在区间?a,2a?上的最大值是最小值的3倍,求a的值.题型三：定点问题
例3：求下列函数恒经过哪些定点
1、f(x)?loga(x2?1)?2
2、y=loga(4a-x) +1恒过﹙4，1﹚，求a的值.
3、若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________．
题型四:对数单调性问题
判断函数y＝logaf(x)的单调性的方法 函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．
例4：求y?log1(x2?4x?3)单调区间
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变式1.求函数f?x??lg(x?x2)的单调区间
归纳：形如y＝logaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝
f(x)(f(x)＞0)的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．
练习.已知函数y?log4(2x?3?x2)(1)求函数的定义域;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的值域.题型五:对数图像问题
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v1.0 可编辑可修改 作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
例5已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数。其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1
x?0,?log1x,?2变式1：已知函数f(x)??若关于x的方程f(x)?k有两个不等的实根，则实
x?x?0,?2,数k的取值范围是 ( ) A．(0,??) B．(??,1) C．(1,??) D．(0,1] 题型六：对数不等式解法 例6.解下列不等式
(1)log1(3x?4)?12(2)log1(3x?4)?22(3)log1(3x?4)?log1(3?x)22变式1：解不等式:loga(2x?1)?2,(a?0,a?1).
题型七:对数不等式综合问题
例1、定义域为R的偶函数f(x)在[0,??)上是增函数
1且f()?0,求不等式f(log4x)?0的解集。244
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例2、已知函数f(x)＝loga1?x(a＞0，且a≠1)． 1?x(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求使f(x)＞0的x的取值范围．
?f(x?1),x?2变式1：已知函数f(x)???x，则f(log32)? .
?3,x?2题型七:对数方程问题
(1)、log7(log3x)??1(2)、lgx+lg(x-3)=1
(1)、log33.4与log34.3;log0.57与log0.59题型八：比较大小 (2)、loga与loga313
(3)、已知logm4?logn4?0,试确定m,n,1的大小关系
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对数函数图像及其性质题型归纳
