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江苏盐城2024年中考备战策略（20）《等腰三角形》专题强化提优
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考点一，等腰三角形概念 1．概念及分类
有_________的三角形叫等腰三角形；有____________的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为_____________的等腰三角形和___________________的等腰三角形． 2．等腰三角形的性质
(1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角_________；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相_________，简称“三线合一”； (3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴． 3．等腰三角形的判定
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两角相等的三角形是等腰三角形． 考点二 等边三角形的性质与判定
1．性质：①等边三角形的内角都相等，且等于60°；②等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．
2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 考点 三线段的中垂线
1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线． 2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等．
3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合． 经典例题
例1(1)已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是( ) A．8 B．7 C．4 D．3 (2)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° (3)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于( ) A．80° B．70° C．60° D．50°
例1(3)题 例1(4)题 (4)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
例2.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出各种情形)
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例3.在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连结EF，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．
《当堂过关检测》 1．等腰△ABC的两边长分别为2和5，则第三边的长为5.
2．某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为( ) A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．12 cm或15 cm
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A．20° B．120° C．20°或120° D．36° 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( ) A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 5．下面给出的几种三角形：(1)有两个角为60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；(4)有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是( ) A．100° B．80° C．70° D．50°
7．如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE. (1)求△ABC的面积S； (2)判断AC、DE的位置关系，并给出证明．
8.一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠CDE.
要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可) 已知：
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求证：△AED是等腰三角形． 证明： 《课后强化提优》 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图 2．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图所示的图形，两条直角边在同一直线上．则图中等腰三角形有（ ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．腰底不等的等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5.．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，请你再确定格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，那么所有符合条件的点D的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（ ）
A．中线的交点 B．角平分线的交点 C．高的交点 D．以上都不对
7.若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（ ）
A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1≠OP2 D．OP1⊥OP2且OP1=OP2
第7题图 第8 题图 第9题图 第10题图 第11题图
8．如图，在一张纸上写了21038平放在桌子上，同时有两面镜子直立于桌面上，这时在两面镜子上都出现“21038”的像，把在正面放置的镜子里出现的像和侧面镜里出现的像分别叫做“正面像”和“侧面像”则（ ）
A．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较大 B．“正面像”和“侧面像”都是五位数，两者相等 C．“正面像”和“侧面像”都是五位数，前者比较小 D．“正面像”和“侧面像”中，只有一个五位数 9.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
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江苏省盐城市2024年九年级中考备战策略(20)《等腰三角形》专题强化提优
