【练 63】（2005 高考淅江东）如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? kPA , 点O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点,
P
1
OP ? 底面ABC .(I) 求证OD ? 底面PAB ; (II) 当 k ?时,求直线 PA 与
2平面 PBC 所成角的大小;(III) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC内的射影恰好为?PBC 的重心?
D
【答案】方法一：
（Ｉ）?Ｏ、Ｄ分别为 AC 、 PC 的中点.? OD // PA
又 PA ? 平面 PAB .? OD // 平面 PAB . (II) ? AB ? BC , OA ? OC ? OA ? OB ? OC, 又? OP ? 平面 ABC ? PA ? PB ? PC . 取 BC 中点Ｅ，连结 PE ,则 BC ? 平面 POE . 作OF ? PE 于 F,连结 DF ,则OF ? 平面 PBC , ? ?ODF 是OD 与平面 PBC 所成的角.
又OD // PA, ? PA 与平面 PBC 所成角的大小等于?ODF . 在 Rt?ODF 中， sin ?ODF ? OF ? 210 A
o
B
C
OD 30 z P arcsin 210 .? PA 与平面 PBC 所成的角为
30
（III）由 II 知， OF ? 平面 PBC ，? F 是O 在平面 PBC 内的射影. D ?
? D 是 PC 的中点，若点 F 是? PBC 的重心，则 B 、 F 、 D 三点共线， ?直线OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD .
?OB ? PC ? PC ? BD ? PB ? BC ，即 K ? 1.
反之，当 K ? 1时，三棱锥O ? PBC 为正三棱锥，
?O 在平面 PBC 内的射影为?PBC 的重心. o A 方法二: x? OP ? 平面 ABC , OA ? OC, AB ? BC, B ?OA ? OB, OA ? OP, OB ? OP.
以O 为原点，射线OP 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系O ? xyz (如图)， y
B(0, 2 a, 0) , 设 AB ? a, 则 A( 22 a, 0, 0) , C(? 2 a, 0, 0) .设OP ? h , 则 P(0, 0, h)
? ??? 2 2 1 ? 2??1 ??
， 又 PA ? ( 为 PC 的中点， OD ＝(?? 2 OD ＝- PA??(I)???,? ?D
C OD // PA ? OD // 平面 PAB .
1 ???
7 ????2(II) ? K ??, 即 PA ? 2, h ??a, PA = ( 2 2 2
a, 0, h) 4 2
2
,0,??a, 0, ?h)
2
7 a), 2
? ??1 ???210 ), ?cos ? PA, n ??? PA?n 可求得平面 PBC 的法向量 n ? (1,?1, ??. ? ????7 30PA?| n|
?? ??
设 PA 与平面 PBC 所成的角为,则sin?| cos ??
? ??
PA, n ?|??
210 ,? PA 与平面 PBC 所成的角为
30
arcsin 21030
?
(III) ??PBC 的重心
?G(??2 a,
?
?
??12 1 2 a, 2 a, ?
a, h), ??OG ? (? h).
6 6 3 6 6 3
???? ?? 1 2 1 2 2
?OG ? 平面 PBC.?OG ? PB. 又 PB ? (0, a, ?h), ?OG?PB ??a ? h ? 0.
6 3 2
???? ? ?? ? ???
1
? h ??
2 2
a. ? PA ??OA2 ? h2 ? a, 即 k ? 1 反之，当 k ? 1 时，三棱椎O ? PBC 为正三棱锥，
?O 在平面 PBC 内的射影为?PBC 的重心.
【易错点 64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。
例 64、（2003 年天津理 12）棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积
为（
）A、 a
3
B、 a
3
C、 a
3
D、 a
3
3 4 6 12
【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而
a2 ? a ?? a ?1 1 1 2 2 AB? ? ? ? ? ? ? . ?V ? ? a?a ? a3 ，故选
八面体
3 2 6 ? 2 ? ? 2 ? 2
??2 2
C。
【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易 求。 【练 64】（2004 全国 20）如图四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为 矩形，AB=8，AD= 4 3 ，侧面 PAD 为 等边三角形，并且与底面成二 面角为 600 。求四棱锥 P—ABCD 的体积。 解析：如图，去 AD 的中点 E，连结 PE，则 PE ? AD 。作 PO ? 平面 ABCD，垂足为 O，连结 OE。根据三垂线定理的逆定理得OE ? AD ，所以?PEO 为侧面 PAD 与底面所成二面角的平面角。由已知 条件可?PEO ? 600 , PE ? 6 ，所以 PO ? 3
3 ，四棱锥 P—ABCD 的体积
VP? ABCD ? ? 8? 4 3 ? 3 3 ? 96 。
3
【易错点 65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例 65、（2005 年春季上海 19）如图，已知正三棱锥
1
P—ABC 的体积为 72 3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为 600 。
（1） 证明 PA ? BC ； 解析：（1）证明：取 BC 边的中点 D，连结 AD、PD，则
（2） 求底面中心 O 到侧面的距离。
AD ? BC, PD ? BC ，故 BC ? 平面APD ? PA ? BC 。
（2）解：如图，由（1）可知平面 PBC ? 平面 APD，则 ?PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角。
过点 O 做OE ? PD ，E 为垂足，则 OE 就是点 O 到侧面的距离，设 OE 为 h，由题意可知点 O 在 AD 上，
??PDO ? 600 , OP ? 2h. ?OD ?
3 2 2h 4h? 4 3h2 ??,? BC ? 4h, ? S ?ABC ?
4 3
2
1 8 3 2
2 ? 2h ? ? ? 4 3hh,? h ? 3即底面中心 O 到侧面的距离为 3。
? 72 3
3 3
【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。 【练 65】 如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， 底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与A1B 的中点， 点E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G.
（Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离.
解析：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠EBG 是A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，
? D, E分别是的C中A1B又平面为, 矩D形C ?连1, 点结是E的, G重心?在AD直B角三角,形?G中? DF. EF 2
1
? FG ? FD ? FD2 ,?EF ? 1,? FD ??
3
1? 2 ? 6 . 2, EG ? 于是ED ? 3 3 EG 6 2 ?sin ?EBG ? ? ? 1 ? .
EB 3 3 3 ? A1B与平面所B成D的角是
2
arcsin.
3
1
ABC,?CDEF
EFD
3.???
? FC ? CD ? 2,? AB ? 2 2, A1B ? 2 3, EB ? 3.
（Ⅱ）连结 A1D，有VA ? AED ? VD? AA E
1
? ED ? AB, ED ? EF , 又EF ? AB ? F ,
? ED ? 平面A1 AB , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h，
则 S?AED ? h ? S?A AB ? ED
1
? A K ? 2 6 .
13
故 A1 到平面 AED 的距离为
2 6 3
.
【易错点 62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。 例 62、 如图所示，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AA1＝A1C1＝a，E 为BB1 的中点，若截面 A1EC⊥侧面 AC1．求截面 A1EC 与底面 A1B1C1 所成锐二面角度数． 解法 1 ∵截面 A1EC∩侧面 AC1＝A1C．连结 AC1，在正三棱 ABC－A1B1C1 中，
3
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