你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
第36练
[题型分析·高考展望]
“排列、组合”常考问题
知识点并不多，但解
该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，
决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置查排列、组合的应用
.
.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考
体验高考
1.(2015四川·)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比数共有(A.144个答案解析
B
由题意，首位数字只能是
4，5，若万位是
5，则有3×A34＝72(个)；若万位是
4，则
)B.120个
C.96个
D.72个
40 000大的偶
有2×A34＝48(个)，故比40 000大的偶数共有2.(2016课标全国甲·)如图，小明从街道的
72＋48＝120(个).选B.
G
E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于
(
)
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A.24 B.18 C.12 D.9答案解析
B
从E点到F点的最短路径有
6种，从F点到G点的最短路径有
3种，所以从E点到
G点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B.
(
)
3.(2016四川·)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
A.24 B.48 C.60 D.72答案解析
D
由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是
C13，再将剩下的
1，3，5；分为两步：先从
1，3，5三
个数中选一个作为个位数有
4
C13·Ａ4＝72(个).选D.
4个数字排列得到
4，则满足条件的五位数有A4
4.(2015广东·)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全
班共写了________条毕业留言(用数字作答).答案解析
1 560
依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从
40人中任选两人的排列数，所以全
班共写了A240＝40×39＝1 560(条)毕业留言.
高考必会题型
题型一例1
排列问题
(1)在5×5的棋盘中，放入
(
)
3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，
则不同的排列方法种数为
A.150 B.200 C.600 D.1 200(2)即将毕业的
6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能
________.
站最右边，则不同的站法种数为答案解析
(1)D
(2)480
(1)由已知，第一颗棋子有5×5＝25(种)放法，由于放入3颗黑子和2颗白子，它们
3×3＝
均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有9(种)放法，第四颗棋子有
4×4＝16(种)放法，第三颗棋子有
2×2＝4(种)放法，第五颗棋子有1种放法，又由于黑子、白子分
别相同，所以不同的排列方法种数为(2)方法一
(位置分析法)
25×16×9×4×1
＝1 200，选D.
3×2×1×2×1
先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，1步，从除明明外的
再安排余下4人的位置，分为两步：第
A5种站法；第2步，余下4
2
5人中选2人分别站在最左边和最右边，有
24
人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A5A4＝480(种)
不同的站法.方法二
(元素分析法)
5人的位置，分为两步：第
1步，将明明排在除最左边、最
先安排明明的位置，再安排其他
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
右边外的任意位置上，有
5
A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A5种站法.
5
A14A5＝480(种)不同的站法.
由分步乘法计数原理，知共有方法三
(反面求解法)
6人没有限制的排队有符合条件的不同站法共有点评
6种站法，明明站在最左边或最右边时A6
5
A66－2A5＝480(种).
5种站法，因此6人排队有2A5
求解排列问题的常用方法
(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1
(1)6把椅子摆成一排，
3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
(
)
A.144 B.120 C.72 D.24(2)有甲、乙、丙、丁、戊①5位同学站成一排，有
5位同学，求：________种不同的方法；
________种不同的方法.
②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有答案解析
(1)D
(2)①120
②24
(1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数
为A34＝4×3×2＝24.(2)①A5＝120.
②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，故有题型二例2
组合问题
在一次国际抗震救灾中，从
7名中方搜救队队员，
4名外籍搜救队队员中选
.
5名组成
22
A22A2A3＝24种不同的排法.
5
一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员解
(1)方法一
(直接法)
“至少有2名外籍搜救队队员
2
C37·Ｃ4种组队方法；3C27·Ｃ4种组队方法；
.
由题意，知特殊搜救队中①有2名外籍队员，共有②有3名外籍队员，共有
”可分为3类：
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
③有4名外籍队员，共有
4
C17·Ｃ4种组队方法.
根据分类加法计数原理，知至少有不同的组队方法.方法二
(间接法)
2名外籍搜救队队员共有
22314
C37·Ｃ4＋C7·Ｃ4＋C7·Ｃ4＝301(种)
由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有②没有外籍搜救队队员，共有
1
C47C4种组队方法；
”的对立事件为“至多有1名外籍搜
0
C57C4种组队方法.
4150
C511－C7C4－C7C4＝301(种)不同的组队方法.
所以至少有2名外籍搜救队队员共有(2)方法一
(直接法)
由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员①有3名外籍搜救队队员，共有②有2名外籍搜救队队员，共有③有1名外籍搜救队队员，共有④没有外籍搜救队队员，共有由分类加法计数原理，知至多有不同的组队方法.方法二
(间接法)
”可分为4类：
3
C27C4种方法；2C37C4种方法；1C47C4种方法；
C57种方法.
3名外籍搜救队队员共有
332415
C27C4＋C7C4＋C7C4＋C7＝455(种)
由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员因为至少有4名外籍搜救队队员，共有
14
共有C511－C7C4＝455(种)不同组队方法.
”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员
4
C17C4种组队方法，所以至多有
”．
3名外籍搜救队队员
点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题
.
.
(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2
(1)从不同号码的三双靴子中任取
4只，其中恰好有一双的取法种数为()
A.12 B.24 C.36 D.72
(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派脑外科和内科医生都至少有答案解析
(1)A
(2)590
11
C13C2C2＝12.
5人组成一个抗震救灾医疗小组，________.(用数字作答)
则骨科、
1人的选派方法种数是
(1)恰好有一双的取法种数为
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
(2)分三类：①选1名骨科医生，则有②选2名骨科医生，则有③选3名骨科医生，则有
C3(C4C5＋C4C5＋C4C5)＝360(种).
1132231
1221
C23(C4C5＋C4C5)＝210(种).11C33C4C5＝20(种).
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有题型三例3
排列与组合的综合应用问题
1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.
4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
(1)恰有1个盒子不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，共有几种放法？解
(1)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，
问题转化为“4个
球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，
2个盒子内，由分步乘法计数原
然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外
212
理，共有C14C4C3A2＝144(种).
(2)“恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也
即另外3个盒子中恰有一个空盒，放球”是同一件事，所以共有(3)确定2个空盒有C24种方法.
因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不
144种放法.
4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有第二类有序均匀分组有点评
12
C34C1A2种方法；
222
4C24C2C2C223122
2种方法.故共有C4(C4C1A2＋2)＝84(种).2·Ａ2·ＡA2A2
(1)排列、组合混合问题一般“先选后排”．
(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不
“重”不“漏”．
(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解变式训练3
.
A、B均在C的同侧，则不
(1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且
同的排法共有________种.(用数字作答)
(2)把A、B、C、D四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且玩具不能分给同一个人，则不同的分法有A.36种
B.30种
C.24种
D.18种
(
)
A、B两件
你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云你是我心中最美的一朵云
考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题8概率与统计第36练
