高数第二章导数与微分知识点总结
第一节 导数
1．基本概念 （1）定义
f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)dydf(x)?y|x?x0(或|x?x0)?f'(x0)?lim?lim?lim
?x?0?x?0x?0dxdx?x?xx?x0注：可导必连续，连续不一定可导.
注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数
f?'(x0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim?. x?x0?xx?x0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?lim?. x?x?xx?x00f?'(x0)?lim??x?0f'(x0)存在?f?'(x0)?f?'(x0).
（3）导数的几何应用
曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程：y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).
法线方程：y?f(x0)??1(x?x0). f'(x0)2．基本公式
（1）C'?0 （2）(x)?ax（3）(a)'?alna（特例(e)'?e）（4）(logax)'?xxxxa'a?1
1(a?0,a?1) xlna
（5）(sinx)'?cosx （6）(cosx)'??sinx
（7）(tanx)'?secx （8）(cotx)'??cscx （9）(secx)'?secxtanx （10）(cscx)'??cscxcotx
22（11）(arcsinx)'?11?x2 （12）(arccosx)'??11?x2
（13）(arctanx)'?11 （14） (arccotx)'??1?x21?x21x?a22（15[ln(x?x2?a2)]'?
3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则
uu'v?uv' (u?v)'?u'?v' (uv)'?u'v?uv' ()'?2vv（2）复合函数求导法则--链式法则
设y?f(u),u??(x)，则y?f(?(x))的导数为：[f(?(x))]'?f'(?(x))?'(x).
sin21x例5 求函数y?e的导数.
（3）反函数的求导法则
设y?f(x)的反函数为x?g(y)，两者均可导，且f'(x)?0，则
g'(y)?11?. f'(x)f'(g(y))（4）隐函数求导
Fx'设函数y?f(x)由方程F(x,y)?0所确定，求y'的方法有两种：直接求导法和公式法y'??'.
Fy（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数
二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式： （1）(a)x(n)?axlnna(a?0) 特别地，(ex)(n)?ex
(n)（2） (sinkx)（3）(coskx)?knsin(kx?n)
2?kncos(kx?n)
2?(?1)n?1(n?1)!
(1?x)n(k?n?1)xk?n
n?(n)?（4）[ln(1?x)](n)（5）(x)k(n)?k(k?1)(k?2)（6）莱布尼茨公式：(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuv，其中u(0)?u,v(0)?v k?0第二节 微分
1．定义
背景：函数的增量?y?f(x??x)?f(x).
定义：如果函数的增量?y可表示为?y?A?x?o(?x)，其中A是与?x无关的常数，则称函数
y?f(x)在点x0可微，并且称A?x为?x的微分，记作dy，则dy?A?x.
注：?y?dy,?x?dx 2．可导与可微的关系
一元函数f(x)在点x0可微，微分为dy?A?x?函数f(x)在x0可导，且A?f'(x0). 3．微分的几何意义 4．微分的计算
（1）基本微分公式dy?f'(x)dx. （2）微分运算法则
②四则运算法则
uvdu?udv d(u?v)?du?dv duv?vdu?udv d()?vv2②一阶微分形式不变
若u为自变量，y?f(u),dy?f'(u)?u?f'(u)du；
若u为中间变量，y?f(u)，u??(x)，dy?f'(u)?'(x)dx?f'(u)du.
练习题
1、求下列函数的导数。
sinxax； （3）y?esinbx； xx?1xx22 （4）y?ln(x?x?a)；（5）y?arctan；（6）y?()。
x?11?x （1）
y?x3(x2?1)2； （2）y?2、求下列隐函数的导数。 （1）
y（2）已知e?xy?e,求y??(0)。 ysinx?cos(x?y)?0；
?x?a(t?sint)dy3、求参数方程? (a?0)所确定函数的一阶导数
dx?y?a(1?cost)4、求下列函数的高阶导数。 （1）
d2y与二阶导数。
dx2y?x?,求y(n)； （2）y?x2sin2x,求y(50)。
5、求下列函数的微分。 （1）
y?xx,(x?0)； （2）y?arcsinx1?x2。
x2y26、求双曲线2?2?1，在点(2a,3b)处的切线方程与法线方程。
ab7、用定义求
f?(0)，其中
1?2?xsin,x?0,f(x)??并讨论导函数的连续性。 xx?0.??0,答案： 1、（1）解：
y??[x3(x2?1)2]??(x3)?(x2?1)2?x3[(x2?1)]? ?3x2(x2?1)2?x3[2(x2?1)(x2)?] ?3x2(x2?1)2?2x3(x2?1)?2x ?x2(x2?1)(7x2?3)。
（2）解：
y??(sinxxcosx?sinx。 )??2xx（3）解：
y??(eaxsinbx)??aeaxsinbx?beaxcosbx ?eax(asinbx?bcosbx)。
（4）解：
y??[ln(x?x2?a2)]??1x?x2?a21x?x?a1x?x?a22221x?x2?a21[x?x2?a2]?
?[1?2x2?a212x?axx?a2222(x2?a2)?]
?[1??2x]
1x?a22
?[1?]?。
（5）解：
y??(arctanx?1)??x?11x?1()?
x?12x?11?()x?1(x?1)2(x?1)?(x?1)1。 ????2(x2?1)(x?1)2x2?1xlnxx)]??(e1?x)? （6）解：y??[(1?xxxxx(1?x)(1?x)?xx?()[??ln] 21?xx1?x(1?x)xx1x?()(?ln)。
1?x1?x1?x
2、（1）解：两边直接关于x求导得
y?sinx?ycosx?sin(x?y)(1?y?)?0 y??? （2）解：将xycosx?sin(x?y)。
sinx?sin(x?y)?0代入原方程解得y?1,
eyy??y?xy??0，
ey(y?)2?eyy???2y??xy???0,
原方程两边直接关于x求导得 上方程两边关于x再次求导得 将x?0，y?1,代入上边第一个方程得y?(0)??e?1，
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