. F???k1k2/?k1?k2??x??kx
式中k?k1k2/?k1?k2?为常数，则物体作简谐运动，振动频率
v?ω/2π?11k/m?k1k2/?k1?k2?m 2π2π 讨论 （1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为
v?12π?k1?k2?/m，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体
是否作简谐运动的思路是相同的．
5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0 ×10-2 m，周期
T＝0.50ｓ．当t＝0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平
衡位置、向负方向运动；（3）物体在x＝-1.0×10-2m处，向负方向运动；（4）物体在x＝-1.0×10-2 m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．
分析 在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x0和v＝v0来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．
6 / 23
.
题5-8图
解 由题给条件知A＝2.0 ×10-2 m，ω?2/T?4πs?1，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．
解析法：根据简谐运动方程x?Acos??t???，当t?0时有x0?Acos??t???，
v0??A?sin?．当
（1）x0?A时，cos?1?1，则?1?0；
（2）x0?0时，cos?2?0，?2??，因v0?0，取?2?； （3）x0?1.0?10?2m时，cos?3?0.5，?3??，由v0?0，取?3?；
x0??1.0?10?2m时，cos?4??0.5，?4?π?，（4）由v0?0，取?4?π2π2π3π3π34π． 3旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为?1?0，?2?，?3?，?4?π2π34π． 3振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为
（1）x?2.0?10?2cos4πt?m? （2）x?2.0?10?2cos?4πt?π/2??m? （3）x?2.0?10?2cos?4πt?π/3??m?
7 / 23
. （4）x?2.0?10?2cos?4πt?4π/3??m?
5-9 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1）当t＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2ｍ处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2）当t＝０时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s-1的速度向上运动，求运动方程．
分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和
φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及
弹簧劲度系数k）决定的，即??k/m，k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相φ需要根据初始条件确定．
题5-9图
解 物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl＝9.8 ×10-2m．则弹簧的劲度系数k＝F／Δl＝mg／Δl．系统作简谐运动的角频率为
??k/m?g/?l?10s?1
（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向．由初始条件t ＝0 时，x10＝8.0 ×10-2 m、v10＝0 可得振幅
8 / 23
. 2应用旋转矢量法可确定初相?1?π［图A?x10??v10/???8.0?10?2m；
2（a）］．则运动方程为
x1?8.0?10?2cos?10t?π??m?
（2）t ＝０时，x20＝0、v20＝0.6 ｍ·s-1，同理可得
2A2?x20??v20/???6.0?10?2m；?2?π/2［图（b）］．则运动方程为
2x2?6.0?10?2cos?10t?0.5π??m?
5-10 某振动质点的x-t曲线如图（a）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需的时间． 分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x－t图线确定振动的三个特征量A、ω和?0，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A；而ω、
?0通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方
便．
解 （1）质点振动振幅A＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t0＝0 和
t1＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b）所示．由图可见初相?0??π/3（或
?0?5π/3），而由??t1?t0???/2??/3得ω?5π/24s?1，则运动方程为
?5π?x?0.10cos?t?π/3??24??m?
题5-10图
9 / 23
. （2）图（a）中点P的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c）所示．当初相取?0??π/3时，点P的相位为?p??0???tp?0??0（如果初相取成?0?5π/3，则点P 相应的相位应表示为?p??0???tp?0??2π．
（3）由旋转矢量图可得ω?tp?0??π/3，则tp?1.6s．
5-11 质量为10 g的物体沿x的轴作简谐运动，振幅A=10 cm，周期T=4.0 s，t=0 时物体的位移为x0??5.0cm，且物体朝x轴负方向运动，求（1）t=1.0 s时物体的位移；（2）t=1.0 s 时物体受的力；（3）t=0之后何时物体第一次到达x=5.0 cm处；（4）第二次和第一次经过x=5.0 cm处的时间间隔.
分析根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程x?Acos(?t??).其中振幅A，角频率??2π均已知，而初相?可由题给初始条件利用旋T转矢量法方便求出. 有了运动方程，t时刻位移x和t时刻物体受力
F?ma??m?2x也就可以求出. 对于（3）、（4）两问均可通过作旋
转矢量图并根据公式?????t很方便求解.
解由题给条件画出t=0时该简谐运动的旋转矢量图如图（a）所示，可知初相??
π2πx?0.10cos(t?)m
232π2ππ?1?s.则简谐运动方程为 .而A=0.10 m，??3T2(1)t=1.0 s 时物体的位移
10 / 23
物理学教程(第二版)上册第五章课后习题答案详解
