第7讲 立体几何中的向量方法
配套课时作业
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45°
C．45°或135° 答案 C
B．135° D．90°
m·n12
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝＝，∴〈m，n〉＝45°.
|m||n|22
∴二面角为45°或135°.故选C.
2．(2019·邯郸模拟)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1
和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° C．30° 答案 B
解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间1??11??1
直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E?，，1?，F?，0，?，
2??22??2→
B．45° D．135°
??EF＝?0，－，－?，
22
?
?
11
→
DC＝(0,1,0)，
→→EF·DC→→
∴cos〈EF，DC〉＝ →→|EF||DC|＝－2→→
，∴〈EF，DC〉＝135°， 2
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.故选B.
→→
3．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为( ) 22??1
A.?，－，?
33??322??1
C．±?，－，?
33??3答案 C
解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)， →??AB·n＝0，
则?→??AC·n＝0，
2??12
B.?－，，－?
3??332??21
D.?，，－?
3??33
??2x＋2y＋z＝0，
即?
?4x＋5y＋3z＝0.?
1??x＝，令z＝1，得?2
??y＝－1.
?1?∴n＝?，－1，1?.
?2?
22?n?1
∴平面ABC的单位法向量为±＝±?，－，?.
33?|n|?3
→→→→→→
4．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，BP＝(x－1，y，－3)．若AB⊥BC，且BP⊥平→
面ABC，则BP＝( )
A.?
?20，－15，－3?
?7?7?
B.?
?40，－15，－3?
?7?7?
C.?
?33，15，－3?
?
?77?
D.?
?33，－15，－3?
?7?7?
答案 D
→→→→→
解析 ∵AB⊥BC.∴AB·BC＝0，即1×3＋5×1－2×z＝0，解得z＝4.又BP⊥平面ABC， →→??BP·AB＝0，∴有?
→→??BP·BC＝0，40x＝，??7解得?15
y＝－.??7
??
即??3?
x－1＋5y＋6＝0，
x－1＋y－12＝0，
15→?33?∴BP＝?，－，－3?.故选D.
7?7?
5．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 C．4 答案 A
解析 ∵A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)， →→
∴AB＝(4，－5,0)，AC＝(0,4，－3)． ∵点D在直线AC上，
→→
∴设AD＝λAC＝(0,4λ，－3λ)，
→→→
由此可得BD＝AD－AB＝(0,4λ，－3λ)－(4，－5,0)＝(－4,4λ＋5，－3λ)． →→又∵BD⊥AC，
4→→
∴BD·AC＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－.
5912?→?因此BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)＝?－4，，?. 55??→
可得|BD|＝
－4
2
B.41 D．25
?9?2?12?2
＋??＋??＝5. ?5??5?
6．(2018·沧州七校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为( )
A．120° C．90° 答案 D
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0,0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
B．30° D．60°
D(0，－2，0)，
→
∴AD＝(－2，－2，0)， →
BC＝(0，－2，2)．
→→→→
∴|AD|＝2，|BC|＝2，AD·BC＝2. →→AD·BC21→→
∴cos〈AD，BC〉＝＝＝.
→→2×22|AD||BC|∴异面直线AD，BC所成的角为60°.故选D.
7．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( ) A.C.3 222
3
B.D.2 223
3
答案 D
解析 如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0，0,0)，B(2,2,0)，
→→→
∴D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)．
设平面A1BD的法向量为
n＝(x，y，z)，
→??n·DA1＝2x＋2z＝0，
则?
→??n·DB＝2x＋2y＝0.
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
→
|D1A1·n|2
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝
|n|3＝23
. 3
8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
1334A. B. C. D. 2255答案 D
解析 取AC中点E，令AB＝2，
分别以EB，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
→
→
B1(3，0,2)，C(0,1,0)，A(0，－1,0)，D(0，0,2)，DB1＝(3，0,0)，DC＝(0,1，－
4→→
2)，DA＝(0，－1，－2)，平面B1DC法向量为n＝(0,2,1)，可得cos〈DA，n〉＝－，所以5
?4?4
直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为?－?＝.
?5?5
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
1232A. B. C. D. 2332
2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法 理(含解析)新人教A版
