1.2 集合间的基本关系
【素养目标】
1．理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示．(直观想象) 2．会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示．(直观想象)
3．在具体情境中理解空集的含义．(数学抽象) 【学法解读】
1．在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念．
2．要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 子集、真子集的概念
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作__A?B__(或__B?A__)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A． (2)对于集合A，B，C，若A?B，且B?C，则A?C． 2.真子集的概念 定义 记法 图示 如果集合A?B，但存在元素__x∈B__，且__x?A__，就称集合A是集合B的真子集 记作AB(或BA) - 8 -
结论 (1)AB，BC，则AC． (2)A?B且A≠B，则AB． 思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？ (2)符合“∈”与“?”有什么区别？
提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． (2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“?”的两边均为集合．
知识点2 集合相等
自然语言 符号语言 图形语言 思考2：怎样证明或判断两个集合相等？ 提示：(1)若A?B且B?A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A?B与B?A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
知识点3 空集 定义 记法 规定 特性 不含任何元素的集合叫做空集 ? 空集是任何集合的子集，即??A (1)空集只有一个子集，即它的本身，??? (2)A≠?，则?A 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． A?B且B?A?A＝B 思考3：?，0，{0}与{?}之间有怎样的关系？ 提示： 相同点 不同点 关系 ?与0 都表示无的意思 ?是集合；0是实数 0?? ?与{0} 都是集合 ?不含任何元素；{0}含一个元素0 ?{0} ?与{?} 都是集合 ?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是? ?{?}或?∈{?} - 8 -
知识点4 Venn图
在数学中，经常用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
注意：1.用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．
?A?B?
??AA≠B??
B
?B?A?
B≠A??
??BA
?A?B?
??A＝B B?A??
ABBA
2．Venn图适用于元素个数较少的集合． 思考4：Venn图的优点是什么？ 提示：形象直观．
基础自测
1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有( D ) A．M＜N C．N?M
B．M∈N D．MN
[解析] ∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D． 2．下列四个集合中，是空集的为( B ) A．{0}
C．{x∈N|x－1＝0}
2
B．{x|x>8，且x<5} D．{x|x>4}
[解析] x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B． 3．用适当的符号填空：
(1)a__∈__{a，b，c}；(2)0__∈__{x|x＝0}；(3)?__＝__{x∈R|x＋1＝0}；(4){0,1}____N；(5){0}__
__{x|x＝x}；(6){2,1}__＝__{x|x－3x＋2＝0}．
2
2
2
2
4．写出集合{a，b，c}的所有子集．
[解析] ?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 5．判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{x|x<0}，B＝{x|x<1}；
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(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}；
(3)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}． [解析] (1)AB (2)AB (3)A＝B
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 集合间关系的判断
例1 (2024·石家庄高一教学质检)指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1 (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； 1＋－1 (3)A＝{x|x－x＝0}，B＝{x|x＝ 2 2 n，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}； (5)A＝{x|x＝1＋a，a∈N＋}，B＝{x|x＝a－4a＋5，a∈N＋}． [分析] (1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；(5)将集合A中x关于a的关系式改写成集合B中的形式，再进行判断． [解析] (1)方法一 集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA． 方法二 利用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知BA． 2 2 (2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴BA． 1＋－1(3)A＝{x|x－x＝0}＝{0,1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝ 2 2 n＝0，当n为 1＋－1 偶数时，x＝ 2 n＝1，∴B＝{0,1}，∴A＝B． (4)方法一 由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B． 方法二 集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B． - 8 - (5)对于任意x∈A，有x＝1＋a＝(a＋2)－4(a＋2)＋5. ∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈B． 由子集的定义知，A?B， 设1∈B，此时a－4a＋5＝1，解得a＝2，a∈N＋ ∵1＋a＝1在a∈N＋时无解，∴1?A． 综上所述，A2 2 22 B． [归纳提升] 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A?B；②若由q(x)可推出p(x)，则B?A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由 q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 【对点练习】? (2024·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是( D ) ①?＝{0}；②??{0}；③?∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}?{1,2,3}；⑧{a，b}?{b，a}． A．1 C．3 B．2 D．4 [解析] ?表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则?≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确；?和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1,2,3}都表示集合，故⑥错误；{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b}?{b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个． 题型二 确定集合的子集、真子集 例2 设A＝{x|(x－16)(x＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是 它的真子集． [分析] 用列举法表示集合A→ 2 22 2 根据子集中所含元从子集中除去集合 → 素的个数写出子集A本身即得真子集 2 [解析] 由(x－16)(x＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)＝0，则方程的根为x＝－4 - 8 -
2024_2024学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系学案含解析
