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☆4一5 不定型的極限與羅必達法則
0?【在第一章中我們曾經學過極限值型、型，這兩種不定型，本節將介紹一
?0種技巧(羅必達法則)，來求這兩種不定型的極限值】
f(x)0?定理： 已知lim為或不定型極限，設函數f(x),g(x)對於某包含a
x?ag(x)0?的開區間內每一數x，x?a，導數均存在，且g(x)?0。
f?(x) 若lim的極限存在或極限為??
x?ag?(x)f?(x)f(x)?lim ?lim
x?ax?ag?(x)g(x)
【將lim改為lim、lim、lim、lim本定理依然適用】 ??x?ax?ax?ax??x???
【若limx?af(x)所得的極限值為不存在(不包含極限值為??)，則此定理g(x)不適用，需利用別的方法解決】
x?sinx例題1. 求lim
x?0x 【Qlim(x?sinx)?0?sin0?0 (提示：sin0?0)
x?0limx?0 x?0x?sinx0屬於不定型型，可用羅必達法則嘗試作答】 ?limx?0x0
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Sol：
d(x?sinx)1?cosx1?cos0x?sinxdx?lim??0 ?lim limx?0x?0x?0d11xxdx (提示：cos0?1)
lnx例題2. 求lim
x?1x?1 【Qlimlnx?1x?0，lim(x?1)?1?1?0
x?1lnx0屬於不定型型，可用羅必達法則嘗試作答】 ?limx?1x?10Sol：
111?lnxlnx12x2lim?lim?lim? x?1x?1x?1x?1x?112r 【提示：lnx
?rlnx】
lnx例題3. 求limx
x??e 【Qlimlnx??，limex??x??x??
lnx?屬於不定型型，可用羅必達法則嘗試作答】 ?limxx??e?Sol：
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不定型的极限与罗必达法则
