2024 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 含参数的分类讨论
例1 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 12x ，导函数为 f ?( x) ，
（1） 求函数 f (x) 的单调区间；
（2） 若 f ?(1) ? ?6, 求函数f (x) 在[—1，3]上的最大值和最小值。
【答案】略
【解析】（I） f ?(x) ? 3ax2 ?12 ? 3(ax2 ? 4) ，（下面要解不等式3(ax2 ? 4) ? 0 ，到了分类讨论的时机，分
类标准是零）
当 a ? 0时, f ?(x) ? 0, f (x)在(??, ??) 单调递减；
当 a ? 0时,当x变化时, f ?(x), f (x) 的变化如下表：
x 2 (??, ? ) a + 2 ? a 0 2 2 (? , ) a a — 2 a 0 2 ( , ??) a + f ?(x) f (x)
极大值 极小值 此时， f (x)在(??, ??
2
2
), ( , ??) 单调递增， 在(??6 a 2 2
, ) 单调递减； a a
（II）由 f ?(1) ? 3a ?12 ? ?6, 得a ? 2.
由（I）知， f (x)在(?1, 2)单调递减, 在( 2, 3) 单调递增。
1
【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底
【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题
例 1 已知函数 f ( x) ? x? x? ax ? 5 ， 若函数在[1,??) 上是单调增函数，求a 的取值范围
3
2
1
3
【答案】
【解析】 f '( x) ? x2 ? 2x ? a ,依题意在[1,??) 上恒有 y? ? 0 成立，
方法 1：
函数 f '( x) ? x2 ? 2x ? a ，对称轴为 x ? ?1，故在[1,??) 上 f '( x) 单调递增，故只需 f '(1) ? 0 即可，得
a ? ?3 ，所以a 的取值范围是[3, ??) ；
方法 2： 由 y? ? x2 ? 2x ? a ? 0 ，得 a ? -x2 - 2x ，只需 a ?（-x2 -2x） ，易得（-x2 -2x） ? ?3 ，因此 maxmaxa ? ?3 ，，所以a 的取值范围是[3, ??) ；
【易错点】本题容易忽视 f '(1) ? 0 中的等号
【思维点拨】已知函数 f (x) 在区间(a, b) 可导：
1. f (x) 在区间(a, b) 内单调递增的充要条件是如果在区间(a, b) 内，导函数 f ?(x) ? 0 ，并且 f ?(x) 在
(a, b) 的任何子区间内都不恒等于零；
2. f (x) 在区间(a, b) 内单调递减的充要条件是如果在区间(a, b) 内，导函数 f ?(x) ? 0 ，并且 f ?(x) 在
(a, b) 的任何子区间内都不恒等于零；
说明：
1. 已知函数 f (x) 在区间(a, b) 可导,则 f ?(x) ? 0 在区间内(a, b) 成立是 f (x) 在(a, b) 内单调递增的必要
不充分条件
2. 若 f (x) 为增函数，则一定可以推出 f ?(x) ? 0 ；更加具体的说，若 f (x) 为增函数，则或者 f ?(x) ? 0 ，
2
或者除了 x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都 f ?(x) ? 0 ；
3.
f ?(x) ? 0 时，不能简单的认为 f (x) 为增函数，因为 f ?(x) ? 0 的含义是 f ?(x) ? 0 或 f ?(x) ? 0 ，当
函数在某个区间恒有 f ?(x) ? 0 时，也满足 f ?(x) ? 0 ,但 f (x) 在这个区间为常函数.
题型三 方程与零点
1. 已知函数 f
? x? ? ax3 ? 3x2 ?1，若 f ? x? 存在三个零点，则a 的取值范围是（
B. ??2, 2??D. ??2, 0? ??0, 2??
）
A. ???, ?2?
?
C. ?2, ???
?
【答案】D
【解析】很明显 a ? 0
， 由题意可得：
2
??
f '? x? ? 3ax ? 6x ? 3x ?ax ? 2??， 则由 f '? x? ? 0 可得
?
2
x1 ? 0, x2 ? ，
a
4 8 ? 12 ?1 ? 0 ? 1, a2 ? 4, ?2 ? a ? 2 ， x1 ? f ? x2 ? ? 2 ，即： 由题意得不等式： f ?
a2 a a2 ??0, 2? .本题选择 D 选项. 综上可得a 的取值范围是 ??2, 0?
【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。
【思维点拨】函数零点的求解与判断
(1) 直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2) 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函
数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3) 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
题型四、导数证明不等式 例 1 当 x ? ?0,
?时，证明不等式sin x ? x 成立。
【答案】略
3
2024年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练(可编辑修改word版)
