2024-2024学年新人教A版必修一 函数的单调性与最值 学案
函数单调性的常用结论
1．若f（x)，g（x）均为区间A上的增(减）函数，则f（x）＋g(x)也是区间A上的增（减)函数。
2．若k〉0，则kf（x)与f（x)单调性相同；若k<0，则kf（x)与f(x）单调性相反。 3．函数y＝f(x）(f(x）〉0或f（x)<0）在公共定义域内与y＝－f(x），y＝错误!的单调性相反。
4．函数y＝f（x)（f(x)≥0)在公共定义域内与y＝错误!的单调性相同。
一、走进教材
1．（必修1P39A组T1改编）函数y＝x－5x－6在区间[2,4］上是( ) A．递减函数 C．先递减再递增函数
B．递增函数 D．先递增再递减函数
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解析 作出函数y＝x－5x－6的图象（图略)知开口向上，且对称轴为x＝,在[2，4]
2上先减后增。故选C。
答案 C
2．（必修1P31例4改编）函数y＝错误!在[2,3］上的最小值为( ） A．2 B．错误!C．错误! D．－错误!
解析 因为y＝错误!在[2，3]上单调递减,所以ymin＝错误!＝错误!。故选B。 答案 B 二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ）已知函数f(x）＝lnx＋ln（2－x)，则（ ) A．f(x)在（0,2)上单调递增 B．f(x)在（0,2）上单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f（x)的图象关于点（1,0）对称
解析 因为f(x)＝lnx＋ln（2－x)的定义域为(0,2），f（x)＝ln[x(2－x）］＝ln[－(x－1）＋1］，由复合函数的单调性,知函数f(x）＝lnx＋ln(2－x）在（0，1）上单调递增,在(1，2)上单调递减，所以排除A，B;f错误!＝ln错误!＋ln错误!＝ln错误!，f错误!＝ln错误!＋ln错误!＝ln错误!，所以f错误!＝f错误!＝ln错误!，所以排除D,故选C。
答案 C
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln（x－2x－8)的单调递增区间是（ ) A．(－∞，－2） C．(1,＋∞)
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B．(－∞,1） D．（4,＋∞)
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解析 由x－2x－8>0,得x〈－2或x>4。因此，函数f（x）＝ln(x－2x－8）的定义域是(－∞，－2)∪（4,＋∞）.注意到函数y＝x－2x－8在(4，＋∞)上单调递增。由复合函数的单调性知,f（x）＝ln(x－2x－8）的单调递增区间是(4，＋∞)。故选D。
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答案 D 三、走出误区
微提醒：①单调性判断出错致误；②对称轴讨论出错致误;③不会结合函数的图象致误. 1
5．函数f(x）＝－x＋在错误!上的最大值是( )
xA．错误! C．－2 选A.
答案 A
B．－错误! D．2
解析 易知f（x）在错误!上是减函数，所以f（x)max＝f(－2)＝2－错误!＝错误!。故
6．如果二次函数f(x)＝3x＋2（a－1）x＋b在区间(－∞，1）上是减函数，那么a的取值范围是________。
解析 二次函数的对称轴方程为x＝－错误!，由题意知－错误!≥1，即a≤－2。 答案 （－∞，－2]
7．若函数f（x）＝｜2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞),则a的值为________。 解析 由图象（图略）易知函数f（x）＝|2x＋a|的单调递增区间是错误!，令－错误!＝3,得a＝－6。
答案 －6
考点一确定函数的单调性（区间)
【例1】 (1）(2024·山西晋城模拟)已知函数f(x）＝loga(－x－2x＋3）(a>0且a≠1)，若f(0）<0,则此函数的单调递增区间是（ ）
A．（－∞,－1] C．［－1,1)
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B．［－1,＋∞) D．(－3，－1]
（2）试讨论函数f（x）＝错误!（a≠0)在(－1,1)上的单调性。
（1）解析 令g(x）＝－x－2x＋3,由题意知g（x）〉0，可得－3 答案 C (2）解 设－1 f(x)＝a错误!＝a错误!， f(x1)－f(x2)＝a错误!－a错误!＝错误!, 由于－1〈x1〈x2〈1， 所以x2－x1〉0，x1－1〈0,x2－1〈0， 故当a>0时，f（x1)－f（x2）>0，即f（x1)〉f（x2)，函数f(x)在（－1,1）上单调递减; 当a〈0时，f（x1）－f（x2）<0, 即f（x1) 解：f′（x）＝错误! ＝错误!＝－错误!. 当a>0时，f′(x)〈0，函数f（x）在(－1,1）上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f（x)在(－1，1)上单调递增。 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1（1）。 2．(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法。 (2)函数y＝f（g(x)）的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减\的原则。 【变式训练】 (1)(2024·辽宁师大附中模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的是( ) A．y＝x错误! C．y＝错误! |x｜ B．y＝e 2 xD．y＝ln|x｜ x(2)判断并证明函数f(x)＝ax＋错误!(其中1 答案 C （2）解 判断：f(x)在［1,2］上单调递增，证明如下： 设1≤x1〈x2≤2，则f（x2）－f（x1）＝ax错误!＋错误!－ax错误!－错误!＝（x2－x1）错误!， 由1≤x1 从而f（x2)－f(x1)〉0,即f（x2）〉f（x1), 故当a∈(1，3)时，f（x）在[1，2]上单调递增。 考点二函数的最值 x｜x｜ 图象可知是偶函数，在区间(0，1）内单调 【例2】 (1)函数f(x)＝错误!－log2(x＋2）在区间［－1，1］上的最大值为________。 (2)已知函数f（x)＝错误!则f（x）的最小值是________。 x解析 (1)由于y＝错误!在R上单调递减，y＝log2（x＋2)在［－1,1］上单调递增，所以f(x）在［－1，1］上单调递减,故f(x）在[－1,1］上的最大值为f(－1)＝3. (2)当x≤1时，f(x)min＝0,当x〉1时,f(x）min＝2错误!－6，当且仅当x＝错误!时取到最小值，又2错误!－6〈0,所以f（x）min＝2错误!－6.
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